Classes de régularité

Classes de régularité

Classe de régularité

En mathématiques, les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées.

Si I est un intervalle de \R, et k \geq 1 un entier on note \mathcal{D}^k(I,\R) l'ensemble des fonctions de I vers \R qui sont k fois dérivables. On note \mathcal{C}^k(I,\R) le sous-ensemble de \mathcal{D}^k(I,\R) formé par les fonctions dont la k-ième dérivée est continue, et on note \mathcal{C}^0(I,\R) l'ensemble des fonctions continues de I vers \R. Enfin on note \mathcal{C}^{\infty}(I,\R) l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de I vers \R.

Ces ensembles sont des algèbres sur \R et on a la suite d'inclusions :

\mathcal{C}^0(I,\R) \supset \mathcal{D}^1(I,\R) \supset \mathcal{C}^1(I,\R) \supset \mathcal{D}^2(I,\R) \supset \mathcal{C}^2(I,\R) \supset \cdots \supset \mathcal{C}^{k}(I,\R) \supset \mathcal{D}^{k+1}(I,\R) \supset \mathcal{C}^{k+1}(I,\R) \supset \cdots \supset \mathcal{C}^{\infty}(I,\R).

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