Précession

Précession
Précession d'un gyroscope

La précession est le nom donné au changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet ou, de façon plus générale, d'un vecteur sous l'action de l'environnement, par exemple, quand un couple lui est appliqué. Ce phénomène est aisément observable avec une toupie mais tous les objets en rotation peuvent subir la précession. Lors de la précession, l'angle que fait l'axe de rotation ou le vecteur avec une direction donnée reste fixée. Le vecteur ou l'axe de rotation décrit ainsi au cours du temps un cône dont l'axe est la direction fixée. Ce cône est parcouru à une vitesse angulaire constante qui est déterminée par les données du problème. Le sens dans lequel se produit la précession dépend du problème considéré. Dans le cas d'une toupie, la précession se fait dans le sens opposé à celui de la rotation.

Sommaire

Formule fondamentale

La formule mathématique qui décrit la précession d'une quantité {\mathbf{N}} s'écrit

\frac{{\rm{d}} {\mathbf{N}}}{{\rm{d}} t} = {\mathbf{\Omega}} \wedge {\mathbf{N}},

où {\mathbf \Omega} est une quantité vectorielle constante (ou éventuellement lentement variable). Sa direction détermine l'axe du cône de précession et sa norme est homogène à une vitesse angulaire. Dans un tel cas, la précession s'effectue à la vitesse angulaire

\Omega_p = |{\mathbf \Omega}|,

et dans le sens trigonométrique dans le plan orienté par {\mathbf \Omega}.

Démonstration

En prenant le produit scalaire de l'équation de départ avec {\mathbf \Omega}, on obtient

{\mathbf \Omega} \cdot \frac{{\rm{d}} {\mathbf{N}}}{{\rm{d}} t} = {\mathbf \Omega} \cdot \left({\mathbf{\Omega}} \wedge {\mathbf{N}}\right).

Le membre de droite est nul, car il correspond au produit mixte comprenant deux vecteurs identiques. Cela implique donc que la composante de {\mathbf{N}} est constante au cours du temps. En effectuant le produit scalaire de l'équation de départ avec {\mathbf{N}}, on obtient cette fois

{\mathbf N} \cdot \frac{{\rm{d}} {\mathbf{N}}}{{\rm{d}} t} = {\mathbf N} \cdot \left({\mathbf{\Omega}} \wedge {\mathbf{N}}\right).

Pour la même raison que précédemment, le membre de droite est nul. Le membre de gauche de l'équation représente la variation de la norme de {\mathbf{N}}, ce qui signifie que celle-ci est constante au cours du temps. Comme sa composante parallèle à {\mathbf \Omega} est aussi constante, la composante orthogonale à ce vecteur est également constante.

En termes de composantes, si on choisit un système d'axes tel que {\mathbf \Omega} soit parallèle à l'axe z, on obtient

\frac{{\rm d} N_x}{{\rm d} t} = - \Omega N_y,
\frac{{\rm d} N_y}{{\rm d} t} = \Omega N_x,
\frac{{\rm d} N_z}{{\rm d} t} = 0.

La dernière équation donne la constance de la composante de {\mathbf N} parallèle à {\mathbf \Omega}. Les deux autres équations se combinent en

\frac{{\rm d} N_x + i N_y}{{\rm d} t} = i \Omega (N_x + i N_y).

En posant Nx + iNy = rexp(iθ), on a, en notant par un point la dérivation par rapport au temps,

\left(\dot r + i r \dot \theta \right) \exp(i \theta) = i \Omega r \exp(i \theta) ,

soit

\left(\dot r + i r \dot \theta \right) = i \Omega r.
La partie réelle de la dérivée donne la variation du module du nombre complexe Nx + iNy, qui est nulle ici. La partie imaginaire de la dérivée donne, à un facteur r près, la variation de son argument. Cette variation est ici constante, ce qui montre que l'argument de Nx + iNy varie à la vitesse angulaire Ω.
 

Les différents types de précession

Un grand nombre de situations physiques donnent lieu à un phénomène de précession :

  • En mécanique, un objet tournant tel une toupie ou un gyroscope va connaître un mouvement de précession s'il n'est pas équilibré, c'est-à-dire si la résultante des moments des forces qui s'exercent sur lui n'est pas nulle.
  • Le plan d'oscillation d'un pendule de Foucault subit une précession au cours du temps, manifestant ainsi la rotation terrestre. L'effet physique à l'origine de ceci est la force de Coriolis.
  • En astronomie, un corps tournant sur lui-même peut être vu comme un gyroscope et peut être amené à effectuer une précession. C'est par exemple le cas de la Terre, dont l'axe des pôles est en précession du fait des interactions gravitationnelles avec le Soleil. Ce phénomène a été découvert par l'astronome grec Hipparque, peu après l'an -150. Voir Précession des équinoxes.
  • Toujours en astronomie, un corps en orbite va posséder, en plus de sa rotation propre, un moment cinétique orbital résultant de son mouvement circulaire ou elliptique autour du corps central. La direction du moment cinétique orbital représente la normale au plan de l'orbite de l'astre. Ce plan peut éventuellement subir une précession sous l'influence d'autres corps célestes.
  • Un corps en orbite elliptique peut voir son orbite perturbée dans son plan par d'autres astres. Une des perturbations tend à faire varier l'axe déterminé par le demi grand axe de l'orbite (le vecteur de Runge-Lenz). Ainsi, la direction déterminée par le point de l'orbite le plus proche du corps central varie-t-elle au cours du temps. On parle de précession du périhélie, ou plus généralement, en dehors du système solaire, de précession du périastre (ou avance du périastre). L'avance du périastre peut être produite par les interactions avec d'autres corps, mais peut aussi l'être par un écart à la sphéricité du corps central. Une troisième cause possible d'avance du périastre est prédite par la relativité générale, dont un des effets les plus facilement observables est une avance du périastre s'ajoutant aux autres causes énumérées ci-dessus. L'avance du périhélie de la planète Mercure a été la première vérification de la théorie de la relativité restreinte découverte par Albert Einstein suite au travaux d'Henri Poincaré . Le système présentant la plus grande avance relativiste du périastre est le pulsar double PSR J0737-3039 (plus de 16 degrés par an).
  • En physique atomique, une particule possédant un moment magnétique va voir celui-ci entrer en précession quand la particule est plongée dans un champ magnétique. On parle alors de précession de Larmor, dont la fréquence peut être mesurée.
  • Toujours en physique atomique, le moment cinétique propre (le spin) d'une particule va également subir une précession si la particule est accélérée. Ce résultat, conséquence de la relativité restreinte, a été correctement pour la première fois expliqué par Llewellyn Thomas dans le courant des années 1920 et porte le nom de précession de Thomas.
  • Une particule plongée dans un champ gravitationnel va également voir son moment cinétique propre entrer en précession du fait de l'existence de celui-ci. On parle d'effet de Sitter, prédit pour la première fois en 1916 par Willem de Sitter.
  • La combinaison de la précession de Thomas et de l'effet de Sitter porte le nom de précession géodétique.
  • La relativité générale prédit également qu'un corps tournant provoque un effet d'entraînement de l'espace-temps dans le sens de sa rotation. Cet effet, souvent appelé de son nom anglais de frame-dragging est l'effet Lense-Thirring, découvert par Joseph Lense et Hans Thirring en 1918 provoque une précession supplémentaire du moment cinétique orbital d'un corps si le plan de l'orbite n'est pas perpendiculaire à l'axe de rotation du corps central, ainsi qu'une précession supplémentaire du périastre et du moment cinétique propre des corps soumis à l'influence du corps central. Dans ce dernier cas, on parle parfois de précession de Schiff. L'effet Lense-Thirring peut en principe être décelable indirectement par l'étude des disques d'accrétion d'objets compacts. Sa mesure précise dans le champ gravitationnel terrestre est l'objet de la mission satellite Gravity Probe B de la NASA lancé en 2004 et dont les résultats devraient être annoncés le 14 avril 2007. L'effet Lense-Thirring fait partie des manifestations du gravitomagnétisme, une analogie formelle et imparfaite entre certains aspects de la relativité générale et de l'électromagnétisme.

La précession mécanique

Lorsqu'un objet subit un couple, son axe de rotation change au cours du temps. Ce phénomène résulte du théorème du moment cinétique, conséquence du principe fondamental de la dynamique formulé dans la seconde moitié du XVIIe siècle par Isaac Newton. Quand ce couple est exercé par une force de direction constante (par exemple la pesanteur terrestre) sur un objet dont le moment cinétique est suffisamment important et dont l'axe de rotation passe par le point d'application de la force, alors l'objet va entrer en précession, c'est-à-dire que son moment cinétique va garder une intensité constante, mais va voir sa direction décrire une précession autour de la direction de la force.

En pratique, une toupie lancée avec une vitesse suffisamment grande va safisfaire à ces hypothèses. Son axe de rotation va ainsi garder un angle constant avec la verticale (la direction de la force de pesanteur), mais va tourner à vitesse constante (si l'on néglige les frottements).

La physique de la précession

Dans ces conditions, la période de précession est la suivante:

T_p = \frac{4 \pi^2 I_s}{C T_s},

Dans laquelle Is est le moment d'inertie, Ts la période de rotation autour de l'axe de rotation, et C est le couple. Cette expression peut se réécrire en termes des vitesses angulaires correspondantes. En notant ωs la vitesse angulaire du corps (ωs = 2π / Ts) et Ωp celle de la précession (Ωp = 2π / Tp), on a

\Omega_p \omega_s = \frac{C}{I_s}.

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