Force De Coriolis

Force de Coriolis

Le sens de rotation de cette basse pression tournant au large de l'Islande dans le sens contraire des aiguilles d'une montre est dû aux effets combinés de la force de Coriolis et du gradient de pression.

La force de Coriolis est une force inertielle agissant perpendiculairement à la direction du mouvement d'un corps en déplacement dans un milieu (un référentiel) lui-même en rotation uniforme, tel que vu par un observateur partageant le même référentiel. Cette force est nommée en l'honneur de l'ingénieur français Gaspard-Gustave Coriolis.

Elle n'est pas en fait une force au sens strict, soit l'action d'un corps sur un autre, mais plutôt une force fictive résultant du mouvement non linéaire du référentiel lui-même. C'est l'observateur qui change de position par l'action de l'accélération centripète du référentiel et qui interprète tout changement de direction de ce qui l'entoure comme une force inverse. L'introduction de cette force permet de simplifier les équations du mouvement dans ce genre de repère, au même titre que celui de la force centrifuge.

Histoire

Au XV^e siècle, on savait déjà que les vents de l'hémisphère nord formaient une boucle tournant vers la droite. Les navigateurs portugais qui suivaient la côte de l'Afrique à la recherche de la route maritime vers l'Inde rencontraient des vents contraires au delà de l'équateur. Bartolomeu Dias eut l'idée que ces vents formaient également une boucle tournant vers la gauche. Il utilisa cette intuition pour naviguer plus rapidement vers le sud de l'Afrique et découvrit ainsi le Cap de Bonne-Espérance^[1].

À la fin du XVIII^e siècle et au début du XIX^e siècle, la mécanique connut de grands développements théoriques. En tant qu'ingénieur, Coriolis s'intéressait à rendre la mécanique théorique applicable dans la compréhension et le développement de machines industrielles. C'est dans son article Sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps (1835) que Coriolis décrivit mathématiquement la force qui devait porter son nom. Dans cet article, la force de Coriolis apparaît comme une composante supplémentaire à la force centrifuge, elle aussi inertielle, ressentie par un corps en mouvement relativement à un référentiel en rotation, comme cela pourrait se produire par exemple dans les rouages d'une machine.

L'argumentation de Coriolis était basée sur une analyse du travail et de l'énergie potentielle et cinétique dans les systèmes en rotation. De nos jours, la démonstration la plus utilisée pour enseigner la force de Coriolis utilise les outils de la cinématique.

Ce n'est qu'à la fin du XIX^e siècle que cette force fit son apparition dans la littérature météorologique et océanographique. Le terme « force de Coriolis » apparut au début du XX^e siècle.

Définition

Sur l'image du haut on voit une bille s'éloigner en ligne droite depuis le centre d'un disque en rotation vers la bordure, c'est le point de vue d'un observateur extérieur. Sur celle du bas, on note la trajectoire parcourue par cette même bille sur le disque, c'est le point de vue du repère en rotation.

En mécanique newtonienne, on qualifie la force de Coriolis de force fictive, ou inertielle, en vertu du fait qu'elle n'existe que parce que l'observateur se trouve dans un référentiel en rotation alors qu'aucune force ne s'exerce pour un observateur dans un référentiel galiléen (ou référentiel inertiel).

L'animation à droite nous montre donc la différence entre le point de vue d'un observateur immobile dans un référentiel inertiel et celui d'un observateur qui se déplace avec un disque en rotation dans le même référentiel. Pour le premier, la bille ne fait que se déplacer avec une vitesse constante depuis le centre du disque vers sa bordure. Pour lui, il n'y a pas de force en jeu et la bille se déplace en ligne droite^[2].

Pour le second (le point rouge), la bille se déplace le long d'un arc de cercle, vers sa gauche, changeant constamment de direction. Il faut donc une force pour expliquer ce déplacement. Cette pseudo-force est la force de Coriolis $\vec F_C$ . Elle est perpendiculaire à l'axe de rotation du référentiel et au vecteur de la vitesse du corps en mouvement. Si le corps s'éloigne de l'axe de rotation, $\vec F_C$ s'exerce dans le sens contraire de la rotation. Si le corps se rapproche de l'axe de rotation, $\vec F_C$ s'exerce dans le même sens que la rotation^[2].

Représentation vectorielle

On peut représenter $\vec{F_C}$ comme un produit vectoriel en utilisant^[2] :

$\vec{F_C} = -2m \Omega(t) (\vec{e}_{axe} \wedge \vec{v})$

$\qquad \qquad \begin{cases} m = masse\ du\ corps \\ \vec{e}_{axe} = vecteur\ unitaire\ parall\grave ele\ \grave a\ l'axe\ de\ rotation \\ \Omega(t) = vitesse\ angulaire\ instantan \acute{e}e\ de\ rotation \\ \vec{v} = vitesse\ du\ corps \end{cases}$

Cependant, on peut multiplier la vitesse angulaire $Ω$ avec $\vec{e}_{axe}$ , ce qui produit le vecteur $\vec{\Omega(t)}$ . Ce vecteur vitesse-pivotement instantané $\vec{\Omega (t)}$ décrit ainsi à la fois la direction et la vitesse angulaire du référentiel.

$\vec{F_C} = - 2m \vec\Omega(t) \wedge \vec v$

Force de Coriolis et force axifuge

Dans l'image du disque et de la bille vue précédemment, cette dernière glisse sans frottement et seule la force de Coriolis est présente dans le repère en rotation. Dans le cas du mouvement d'un corps à la surface de la Terre, ce dernier a son mouvement propre à la surface du globe. Il se déplace également dans l'espace, avec la rotation de la planète, en étant attiré par la gravité. Il subit donc en plus une autre force fictive dite force centrifuge. Les deux s'additionnent:

$\vec{F}_{inertie}= \vec{F_C} + \vec{F}_{centrifuge}$

La force centrifuge et la force de Coriolis ne se manifestent donc que dans des référentiels en rotation. Comme on l'a vu précédemment, la force de Coriolis dépend de la vitesse du corps en mouvement. La force centrifuge, en réalité la force axifuge, se défini elle comme $\scriptstyle -m \vec{\Omega^2}R$ et dépend de la position (R) du corps par rapport à l'axe de rotation instantané. Ces deux forces peuvent varier si $Ω(t)$ varie mais pour un $Ω(t)$ donné, on peut dire que la force centrifuge est la composante statique de la force inertielle se manifestant dans le référentiel en rotation, alors que la force de Coriolis en est la composante cinématique (cf forces d'inertie)

Exemple simple

Voici un autre cas très simple, qui exige l'intervention de la force de Coriolis pour être interprété :

Soit deux masses, M et P, décrivant le même cercle à la même vitesse angulaire, dans le sens direct et dans le sens indirect.

Donc la force centrifuge sur chacune est identique.
Chaque point étant en équilibre dans SON référentiel, il existe donc la même intensité de force réelle Fo centripète agissant sur M et sur P.
Mais raisonnons dans le référentiel où P est immobile : M y décrit un cercle à la vitesse angulaire double, donc l'accélération a est quadruple. Or la force réelle Fo sur M n'a pas changé et reste annulée par la force centrifuge. Il faut donc bien qu'une autre force intervienne pour que M décrive le cercle ! et elle doit valoir 4Fo et être centripète.
C'est bien ce que donne la formule précédente.

Applications

La force de Coriolis permet l'interprétation de beaucoup de phénomènes à la surface de la Terre; par exemple le mouvement des masses d'air et des cyclones, la déviation de la trajectoire des projectiles à grande portée (cf Pariser Kanonen), le changement du plan de mouvement d'un pendule tel que montré par Foucault dans son expérience du pendule de Foucault en 1851 au Panthéon de Paris, ainsi que la légère déviation vers l'est lors de la chute libre.

Coriolis en météorologie et en océanographie

L'application la plus importante de la pseudo-force de Coriolis est sans conteste en météorologie et en océanographie. En effet, les mouvements à grande échelle de l'atmosphère terrestre sont le résultat de la différence de pression entre différentes régions de la couche atmosphérique mais sont assez lents pour que le déplacement dû à la rotation de la Terre influence la trajectoire d'une parcelle d'air. Considérons donc la circulation atmosphérique mais les mêmes remarques sont valides pour les mouvements des eaux dans les mers.

Circulation autour d'une dépression

Diagramme qui montre comment les vents sont déviés pour donner une circulation anti-horaire dans l'hémisphère nord autour d'une dépression. La force de gradient de pression est en bleu, celle de Coriolis en rouge et le déplacement en noir

Le flux d'air dans une masse d'air au repos s'effectue depuis les zones de haute pression vers celles de basse pression. Si la Terre n'était pas en rotation, la pression d'air s'égaliserait donc rapidement et l'atmosphère deviendrait rapidement isotrope sans apport de chaleur. Par contre, avec le réchauffement différent aux pôles et à l'équateur qui maintient une différence de pression, on aurait une éternelle circulation entre ces deux endroits. Cette dernière circulation existe près de l'équateur où l'effet de Coriolis devient nul car $\vec{\Omega}(t)$ et $\vec V$ deviennent parallèles (voir Cellules de Hadley).

Cependant, la Terre tourne et en utilisant la définition de la force de Coriolis dans un référentiel en rotation, on voit que cette dernière augmente à mesure que la vitesse obtenue par le gradient de pression augmente mais dans la direction perpendiculaire. Ceci donne une déviation vers la droite dans l'hémisphère nord (gauche dans celui du sud) d'une parcelle d'air en mouvement. Ainsi la circulation de l'air sera anti-horaire autour d'une dépression et horaire autour d'un anticyclone (hémisphère nord). Il s'agit là du vent géostrophique^[3].

Dans la figure à droite, on voit comment cela se produit en prenant les quatre points cardinaux comme début de l'interaction des forces. Le gradient de pression (flèches bleues) amorce le déplacement de l'air mais la force de Coriolis (flèches rouges) le fait dévier vers la droite (flèches noires). Le gradient de pression s'ajuste en direction avec ce changement ainsi que la force de Coriolis ce qui fait changer continuellement la direction de notre parcelle. Rapidement, le gradient de pression et la force de Coriolis s'opposent et le déplacement de l'air se stabilise en suivant une trajectoire perpendiculaire au gradient et donc parallèle aux lignes d'équi-pression (isobares). En fait, à cause de la friction, de la force centrifuge et des différences de pression dans une région, l'équilibre n'est jamais vraiment atteint et la direction restera toujours légèrement vers le centre de basse pression (voir Spirale d'Ekman).

Les dépressions, aussi appelés cyclones, ne peuvent pas se former près de l'équateur où la composante horizontale de la force de Coriolis est nulle. La variation de la force de Coriolis donne donc différents régimes de circulation atmosphérique selon la latitude.

Balistique et cercles inertiels

Trajectoire d'un corps en mouvement non accéléré

Une autre utilisation pratique de la force de Coriolis est le calcul de la trajectoire des projectiles dans l'atmosphère. Une fois qu'un obus est tiré ou qu'une fusée en vol sous-orbital a épuisé son carburant, sa trajectoire n'est contrôlée que par la gravité et les vents (quand il est dans l'atmosphère). Supposons maintenant qu'on enlève la déviation due au vent. Dans le repère en rotation qu'est la Terre, le sol se déplace par rapport à la trajectoire rectiligne que verrait un observateur immobile dans l'espace. Donc pour un observateur terrestre, il faut ajouter la force de Coriolis pour savoir où le projectile retombera au sol.

Dans la figure de droite, on montre la composante horizontale de la trajectoire qu'un corps parcourrait s'il n'y avait que la force de Coriolis qui agisse (elle ne comporte pas la composante verticale du vol, ni la composante verticale de Coriolis). Supposons que le corps se déplace à vitesse constante de l'équateur vers le pôle Nord à altitude constante du sol, il subit un déplacement vers la droite par Coriolis (hémisphère nord). Sa vitesse ne change pas mais sa direction courbe. Dans sa nouvelle trajectoire, la force de Coriolis se remet à angle droit et le fait courber encore plus. Finalement, il effectue un cercle complet en un temps donné qui dépend de sa vitesse (v) et de la latitude. Le rayon de ce cercle (R) est:

$\,R = v/f$

Où $\begin{cases} f\ est\ la\ projection\ horizontale\ de\ la\ force\ de\ Coriolis \\ \phi = latitude \\ f = -2 sin(\phi) \Omega(t) \end{cases}$ .

Pour une latitude autour de 45 degrés, $\,f$ est de l'ordre de 10⁻⁴ seconde⁻¹ (donnant une fréquence de rotation de 14 heures). Si un projectile se meut à 800 km/h (environ 200 m/s), l'équation donne un rayon de courbure de 2 000 km. Il est clairement impossible pour un projectile sur une courbe balistique de rester en l'air 14 heures et il effectuera donc seulement une partie de la trajectoire courbe.

Par contre, la situation est différente dans le cas de l'océan ou de l'atmosphère. En effet, pour une parcelle d'air en mouvement dans une zone où la pression atmosphérique est uniforme (vaste col de pression) ou pour une couche océanique en mouvement dans une zone à très faible relief dynamique, le déplacement inertiel est appelé oscillation d'inertie. Aux latitudes moyennes, avec une vitesse typique de 10 m/s pour l'air, le rayon est de 100 km alors qu'avec des vitesses de 0,1 m/s pour l'eau, on obtient un rayon de 1 km. Dans ces deux cas, ces oscillations d'inertie, dont le rotationnel est nul, ne doivent pas être confondu avec des tourbillons. Ces trajectoires inertielles sont des cercles décrits en un demi-jour pendulaire dans le sens inverse de celui de la circulation autour d'une dépression. Il faut se rappeler qu'il s'agit d'un cas où il n'y a pas de gradient de pression. En toute rigueur, comme $\,f$ varie avec la latitude, cette trajectoire n'est pas exactement un cercle, c'est un boucle qui ne se referme pas. En effet, la vitesse restant constante, la déviation due à l'effet Coriolis est plus forte à la latitude la plus élevée de la trajectoire, il s'en suit qu'après une période d'inertie, la parcelle d'eau ou d'air se retrouve légèrement à l'ouest de son point de départ, aussi bien dans l'hémisphère nord que dans l'hémisphère sud.

Coriolis à trois dimensions

Jusqu'à présent, nous avions considéré des mouvements selon l'horizontale uniquement. Parce que la Terre n'est pas plate et que l'atmosphère a une certaine épaisseur, les mouvements ont généralement une composante verticale. La force de Coriolis ne s'exerce donc pas uniquement parallèlement à la surface de la planète mais également selon la verticale. On peut penser par exemple à une parcelle d'air en surface qui se dirigerait en direction d'une étoile du firmament dans le sens de rotation de la Terre. Comme cette dernière tourne, sa surface change de direction par rapport à cette orientation et la parcelle semble s'éloigner vers le haut d'où une pseudo-force l'attirant dans cette direction.

Cet effet est très faible car la force de Coriolis a peu de temps pour s'exercer avant que la parcelle d'air atteigne la limite supérieure ou inférieure de l'atmosphère mais influence certains objets comme les tirs balistiques vu plus haut. Si on regarde les effets selon la direction:

Une parcelle d'air descendante sera légèrement défléchie vers l'Est.
Une autre en ascension sera défléchie vers l'Ouest.
Un mouvement vers l'Est montera légèrement.
Un mouvement vers l'Ouest descendra légèrement.

Interprétations erronées

L'eau du lavabo

Contrairement à une croyance populaire, la force de Coriolis due à la rotation du globe terrestre est trop faible pour avoir le temps d'influer sur le sens de rotation de l'écoulement de l'eau dans un lavabo qui se vide. Comme l'ont montré Arsher Shapiro et Lloyd Trefethen^[2], pour percevoir une telle influence, il est nécessaire d'observer une masse d'eau stabilisée dans un très grand bassin circulaire (d'un diamètre de l'ordre d'au moins plusieurs dizaines de kilomètres pour un effet en centimètres). Dans le siphon d'un lavabo, le sens de rotation de l'eau est dû à la géométrie du lavabo et aux microcourants d'eau créés lors de son remplissage (ou lors d'une agitation de l'eau).

Pour calculer l'accélération de Coriolis, a, on utilise cette relation :

$a = 2 \omega \cdot v \cdot \sin(\phi)$

Avec :

$\omega \,$ : vitesse angulaire du pivotement sidéral de la Terre. Prenons $\omega = \frac{2\pi}{86164}\ rad \cdot s^{-1}$

$v \,$ : Vitesse de l'eau en mouvement. Prenons $v = 1 \ m \cdot s^{-1}$

$\phi \,$ : Latitude du lieu considéré. Prenons $\phi \approx 60^\circ$

Application numérique : $a = \frac{4\pi\cdot\sin(60)}{86164} \approx 0,0001 \ m \cdot s^{-2}$

Soit 100 000 fois moins que l'accélération due à la pesanteur $(g=9,81 \ m \cdot s^{-2})$ . Donc le bassin se vide bien avant que la déviation due à Coriolis se fasse sentir.

Pour l'anecdote, George Gamow parodia cette idée reçue en affirmant avoir constaté lors d'un voyage en Australie que dans l'hémisphère sud, les vaches ruminent en faisant circuler l'herbe en sens inverse du sens dans l'hémisphère Nord.

Les tornades et tourbillons de poussière

La rotation dans une tornade est le plus souvent anti-horaire mais ce n'est pas dû à Coriolis. Dans ce cas, la rotation est initiée par la configuration des vents dans la couche d'air près du sol qui donne une rotation horizontale de l'air. Lorsque le fort courant ascendant d'un orage verticalise cette rotation et qu'elle se concentre, le sens est déjà déterminé. On est encore là dans un domaine où le mouvement de l'air est beaucoup trop rapide pour que l'effet de Coriolis ait le temps d'avoir un impact.

Dans le cas d'un tourbillon de poussières, l'initiation de la rotation se fait par une différence des vents horizontaux. On a alors un axe vertical de tourbillon créé où la force centrifuge est contrebalancée par celle de pression. La vitesse des particules est trop rapide et sur un trop petit rayon pour que la force de Coriolis ait le temps d'agir. Les observations ont montré que la rotation dans ces vortex sont statistiquement divisés également entre horaires et anti-horaires, quel que soit l'hémisphère.

Divers

La force de Coriolis ne dépend pas de la courbure de la Terre, seulement de sa rotation et de la latitude où on se trouve.

La terre étant une sphère, les cartes géographiques en deux dimensions sont nécessairement une projection (voir par exemple la projection de Mercator) qui donne une distorsion de la surface terrestre. La trajectoire des missiles balistiques, ou des obus, est courbée lorsqu'on la trace sur une carte mais la courbe obtenue est une somme de l'effet de Coriolis, des vents et de la projection qui a servi à faire la carte. Or ces deux dernières sont en général plus importantes que la déviation de Coriolis.

Culture populaire

L'effet de Coriolis fait son apparition dans un jeu de tir subjectif sur vidéo, Call of Duty 4: Modern Warfare, lorsqu'il s'agit de tirer sur une cible très éloignée avec un fusil de tireur d'élite.
Il est mentionné dans le film Shooter, tireur d'élite lors d'un tir à plus de 1 600 mètres que doit effectuer le personnage principal contre le président des États Unis.
Dans l'épisode des Simpson, Bart contre l'Australie, la force de Coriolis est à la base de l'intrigue. Bart fait des appels malicieux à travers le monde et est troublé d'apprendre que le sens du tourbillon des toilettes est inverse en Australie (fausseté déjà démontrée). Un membre de l'ambassade américaine le rassure en mentionnant qu'un système permet de faire tourner le tourbillon dans le sens américain dans leurs locaux.
Les tempêtes Coriolis sont de gigantesques tempêtes de sable se produisant sur Arrakis, planète au cœur du cycle de Dune de Frank Herbert. La rotation de la planète alimente et entretient ces tempêtes que rien n'arrête sur cette planète sableuse, hormis les quelques formations rocheuses.

Bibliographie

Pour les travaux originaux de Coriolis ayant mené à la dérivation de la force de Coriolis :
- Coriolis, G.G., 1832 : Mémoire sur le principe des forces vives dans les mouvements relatifs des machines. Journal de l'école Polytechnique, Vol 13, 268-302
- Coriolis, G.G., 1835 : Mémoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. Journal de l'école Polytechnique, Vol 15, 142-154

Pour l'histoire :
- Persson, Anders, 1998: How Do We Understand the Coriolis Force? Bulletin of the American Meteorological Society, Vol 79, No 7

Voir aussi

Notes et références

↑ Jean Favier, Et l’on découvrit le Brésil, dans l'émission radiophonique Au fil de l'histoire, France Inter, 30 mars 2008
↑ ^{a , b , c et d} (fr)Benoît Urgelli, « Modélisation de l'effet Coriolis : Lavabos, Coriolis et rotation de la Terre », 21 octobre 2003, Ministère de l'éducation, de la science et de la recherche. Consulté le 2008-03-22
↑ (fr)Département de sciences de la Terre et de l'atmosphère, « Écoulement en équilibre », 2006, Notes de cours, UQAM. Consulté le 2007-03-22

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