Preuve que 1 est égal à -1

Preuve que 1 est égal à -1

Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres

Le terme Pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses. Étant donné que toute proposition fausse est équivalente à une autre proposition fausse, n'importe quel résultat faux est équivalent à x \ne y \Rightarrow x = y (un exemple célèbre est celui de Bertrand Russell avec l'égalité 2 + 2 = 5).

Nous nous contenterons ici de regarder le cas d'égalités entre nombres, et nous détaillerons différents vices parmi les plus répandus qui conduisent à ces erreurs. Les méthodes proposées dans cet article se veulent en outre les méthodes les plus courantes, les plus instructives, et dans la mesure du possible, les plus directes.

Sommaire

Pseudo-démonstration via des identités remarquables et division par zéro

Principe

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur suivante : 0 \cdot a = 0 \cdot b \Rightarrow a = b

Elle s'effectue généralement en deux étapes :

  • former via une identité remarquable un produit dans les deux membres d'une égalité dont l'un des facteurs est nul ;
  • via une division par zéro obtenir un résultat absurde.

À noter que suivant l'identité remarquable utilisée et la manière dont on s'y prend, on peut obtenir n'importe quelle égalité fausse.

Le jeu consiste surtout à dissimuler la division par zéro dans des opérations très compliquées impliquant un grand nombre d'inconnues, ce qui rend difficile l'identification de la ligne fausse de la démonstration.

Cette technique est notamment utilisée pour « démontrer » que 1 + 1 = 3 dans L'Encyclopédie du savoir relatif et absolu de Bernard Werber.

Exemple

Exemple

Étape 1:

  • Soit a et b deux réels non nuls, on pose
    a = b ~
  • On multiplie chaque membre par a
    a^2=a \times b
  • On soustrait b2
    a^2-b^2 =a \times b - b^2
  • On factorise chaque membre ( dans le premier on utilise une identité remarquable)
    (a-b) \times (a+b) = b \times (a-b)

Étape 2:

  • On divise par (a − b)
    a+b = b ~
  • Comme a = b, on remplace a par b
    b + b = b ~
  • Soit
    2 \times b = 1 \times b
  • On divise par b
    2 = 1 ~

L'erreur est commise au moment ou l'on effectue la division par (a − b), car comme a = b alors a − b = 0 donc on divise par 0 ce qui est interdit.

 
Variante sans identité remarquable
  • On commence avec la proposition suivante :
    2 = 1 + 1
  • On multiplie chaque membre par (2 − 1) :
    2(2 − 1) = (1 + 1)(2 − 1)
  • On développe :
    2 \times 2-2 \times 1=2 \times 1+2 \times 1-1 \times 1-1 \times 1
  • On soustrait 2 \times 1 à chaque membre :
    2 \times 2-2 \times 1-2 \times 1=2 \times 1-1 \times 1-1 \times 1
  • On factorise :
    2 \times (2-1-1)=1 \times (2-1-1)
  • On peut simplifier et on obtient :
    2 = 1
  • Il suffit d'ajouter 1 pour finalement avoir :
    3 = 1 + 1
Solution : Au moment de simplifier par (2 − 1 − 1), on fait :
\frac{2 \times (2-1-1)}{(2-1-1)}=\frac{1 \times (2-1-1)}{(2-1-1)}
Donc, on divise par 2-1-1 donc par 0.
 

Pseudo-démonstration via des équations et confusion condition nécessaire et suffisante

Principe

Une autre pseudo-démonstration courante est de restreindre l'ensemble des solutions possibles d'une équation puis d'affirmer qu'un des éléments de l'ensemble est racine. Cela revient à faire l'erreur de logique suivante : (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \Leftarrow B).

Elle se déroule ainsi :

  • étude de l'équation (restriction de l'ensemble des solutions possibles à un faible nombre, une ou deux) ;
  • affirmation de l'ensemble des solutions possibles comme ensemble des solutions ;
  • test de l'une des supposés racines et résultat absurde.

Exemple

Exemple

Étape 1 :

Considérons l'équation :

x2 + x + 1 = 0

Ses solutions sont également celles (à l'exception de zéro) de :

x(x^2+x+1) = 0 \Leftrightarrow x^3+x^2+x = 0 \Leftrightarrow x^3 = -x^2-x

Or d'après l'équation initiale :

x^2+x+1 = 0 \Leftrightarrow x^2 = -x-1

Donc :

x3 = − ( − x − 1) − x = 1

Étape 2 : La seule racine réelle possible est 1.

Étape 3 : En remplaçant x par 1 dans l'équation initiale, on obtient l'égalité 3 = 0.

 

Pseudo-démonstration via des racines carrées non définies

Principe

Il s'agit ici de l'erreur courante x^2 = a^2 \Rightarrow x = a, l'implication correcte étant x^2 = a^2 \Rightarrow |x| = |a|.

Deux étapes :

  • écrire une égalité vraie entre carrés ;
  • appliquer l'implication fausse en écrivant l'égalité sans les carrés (en invoquant une fonction racine non définie, par exemple dans \Complex).

On peut généraliser ce principe aux exponentielles complexes en invoquant une fonction logarithme non définie dans l'ensemble de travail, par exemple \Complex. Les racines carrées s'écrivent \sqrt{z} = \pm\sqrt{|z|}\exp\left(i\tfrac{\arg z}2\right) dans ce dernier ensemble.

Exemples

Exemple

Étape 1 :

Considérons l'égalité − 1 = − 1, qui peut s'écrire sous forme de quotients :

\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}

Or − 1 = i2 (voir nombre imaginaire), d'où

\frac{1}{i^2} = \frac{i^2}{1}

Étape 2 :

On prend la racine carrée des deux côtés ce qui donne :

\sqrt{\frac{1}{i^2}} = \sqrt{\frac{i^2}{1}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{i^2}} = \frac{\sqrt{i^2}}{\sqrt{1}} \Leftrightarrow \frac{1}{i} = \frac{i}{1}

En multipliant par i de part et d'autre, on obtient

1 = i2

Et puisque i2 = − 1, nous avons alors

1 = − 1
 
Exemple annexe (via un logarithme)
ln( − 1) + ln( − 1) = ln(( − 1)2) = ln(1) = 0

Ainsi,

\ln(-1)=\ln(i^2)=2\cdot\ln(i)=0 \Rightarrow e^{\ln(i)}=e^0(=1)

Et comme l'exponentielle est l'application réciproque du logarithme népérien :

i = 1
 

Pseudo-démonstration via une sommation floue

Principe

En écrivant une somme de manière floue, c’est-à-dire non pas de manière formelle :

S = \sum_{k=1}^n k

mais avec des points de suspensions :

S = 1 + \ldots + n

la variable muette de sommation (notée ici k) est véritablement passée sous silence et le manque de formalisme des points de suspensions sert à masquer l'erreur.

Méthodologie :

  • faire des calculs sur une somme ;
  • générer une erreur via l'ensemble de définition de la variable muette, autrement dit le nombre de termes ;
  • aboutissement à un résultat absurde.

Variantes

Variante via dérivation

La dérivation va s'effectuer différemment suivant le membre de l'égalité, à gauche il sera question d'une dérivation correcte, et à droite une dérivation sans tenir compte que la variable x est aussi le cardinal de l'ensemble des termes.

Étape 1 : Soit x un entier. Par définition de la fonction carrée :

x^2 = x + \cdots + x (x termes)

Étape 2 : En dérivant par rapport à x :

2x = 1 + \cdots + 1 (x termes),

Étape 3 : d'où en simplifiant par x :

2 = 1
 
Variante via une suite arithmétique

Cette variante joue sur le nombre de termes de la somme des termes d'une suite arithmétique (ici la suite des n premiers entiers).

Étape 1 :

La somme des termes des n premiers entiers s'écrit :

\forall n \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}

Cela est vrai également au rang n − 1 :

\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = \frac{n(n-1)}{2}

D'où en ajoutant 1 dans chacun des membres :

\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1

Étape 2 :

Cette égalité peut aussi s'écrire :

\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n(n-1) + 2}{2}

D'après l'égalité au rang n, on a donc :

\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, \left[ \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1) + 2}{2} \Leftrightarrow n(n+1) = n(n-1) + 2 \right]

D'où :

\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, \left[ n^2 + n = n^2 - n + 2 \Leftrightarrow 2n = 2 \right]

Étape 3 :

Finalement :

\forall n \in \mathbb{N}, n \ne 0, n = 1

L'erreur vient du fait que l'on compare les sommes \sum_{k=1}^n k et \sum_{k=1}^{n-2} k + n.

 

Pseudo-démonstration via un changement de variable non licite lors d'une intégration

Principe

Lorsque l'on effectue un changement de variable lors d'une intégration sur un segment, il faut que le changement de variable soit un C1-difféomorphisme. Si le changement de variable est effectué trop hâtivement, il n'est pas rare de trouver un résultat absurde en fin d'intégration.

Démarche :

  • calculer l'intégrale de manière correcte ;
  • effectuer un changement de variable erroné ;
  • confronter les deux résultats.

Exemple

Exemple

Étape 1 :

Considérons l'intégrale :

\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t

Par intégration en tant que monôme du second degré :

\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t=\left[\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}

Étape 2 :

Effectuons le changement de variable de classe \mathcal C^1 (mais qui n'est pas un \mathcal C^1-difféomorphisme) :

u=t^2 \Leftrightarrow {\rm d}u=2t\,{\rm d}t

Ainsi :

\begin{cases} t = -1 \Rightarrow u = 1\\ t = 1 \Rightarrow u = 1 \end{cases}

D'où :

\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t=\frac{1}{2}\int_{1}^1 \sqrt{u} {\rm d}u=0

Étape 3 :

Des deux calculs de l'intégrale on en déduit :

\frac{2}{3}=0
 

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Pseudo-d%C3%A9monstration d%27%C3%A9galit%C3%A9 entre nombres ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Preuve que 1 est égal à -1 de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Preuve que 2 est égal à 1 — Pseudo démonstration d égalité entre nombres Le terme Pseudo démonstration d égalité renvoie à l apparente exactitude de démonstrations d égalités qui à l évidence sont fausses. Étant donné que toute proposition fausse est équivalente à une autre …   Wikipédia en Français

  • Preuve par 9 — Preuve par neuf En arithmétique, la preuve par neuf est une technique permettant de vérifier un calcul mental ou effectué « à la main ». Il ne s agit pas d une preuve mathématique au sens strict, car elle peut être mise en défaut dans… …   Wikipédia en Français

  • Que le spectacle commence (Buffy) — Que le spectacle commence Épisode de Buffy contre les vampires Titre original Once More, With Feeling Numéro d’épisode Saison 6 Épisode 7 Invité(s) Anthony Stewart Head, dans le rôle de Rupert Giles Réalisation Joss Whedon …   Wikipédia en Français

  • Preuve par neuf — En arithmétique, la preuve par neuf est une technique permettant de vérifier un calcul mental ou effectué « à la main ». Il ne s agit pas d une preuve mathématique au sens strict, car elle peut être mise en défaut dans certains cas. Le… …   Wikipédia en Français

  • Preuve par l'exemple — Une preuve par l exemple (resp. la recherche de contre exemple) est une forme de démonstration paradoxale permettant de valider (resp. invalider) une proposition à l aide d exemples. En général, un exemple ne permet pas de prouver une propriété,… …   Wikipédia en Français

  • EST-OUEST (RELATIONS) — La question des relations Est Ouest remonte à la révolution russe de 1917; elles se sont développées à partir d’une trame qui n’a pas beaucoup changé jusqu’à la disparition de l’U.R.S.S., en décembre 1991; elles reposaient sur l’existence de deux …   Encyclopédie Universelle

  • Augustin ou le Maître est là — Auteur Joseph Malègue Genre Roman Version originale Titre original Augustin ou le Maître est là Éditeur original Spes Langue originale français …   Wikipédia en Français

  • Tempérament égal — Gamme tempérée Acoustique musicale Note de musique Harmonique Intervalle Consonance Cycle des quintes Gamme musicale Système tonal Échelle musicale Échelle diatonique Échelle chromatique Liste des gamme …   Wikipédia en Français

  • Démonstration que la série des inverses des nombres premiers diverge — Série des inverses des nombres premiers En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est définie par où pi désigne le i ème nombre premier. Étant donné qu il existe une infinité de nombres premiers, cette suite n est pas constante …   Wikipédia en Français

  • Nombres premiers somme de 2 carrés — Théorème des deux carrés de Fermat Pierre Fermat En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c est à dire de deux carrés d’entiers) et précise de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”