Preuve par l'exemple

Une preuve par l'exemple (resp. la recherche de contre-exemple) est une forme de démonstration paradoxale permettant de valider (resp. invalider) une proposition à l'aide d'exemples. En général, un exemple ne permet pas de prouver une propriété, mais sous certaines conditions cela peut arriver.

Le cas le plus courant pour effectuer une preuve par l'exemple consiste à valider une propriété existentielle en explicitant un élément vérifiant la propriété recherchée. Réciproquement, le cas le plus courant de recherche de contre-exemple correspond à l'invalidation d'une propriété universelle en explicitant un élément invalidant la propriété en question. Dans ces deux cas, le paradoxe n'est que superficiel. Mais pas dans ce qui suit.

Sous certaines conditions, une proposition universelle peut également être prouvée par un ou plusieurs exemples bien choisis, là est le vrai paradoxe, car une proposition universelle concerne a priori une infinité d'éléments et voir la proposition prouvée à partir d'un nombre fini d'exemples où la propriété est vérifiée est paradoxal.

(dans les titres qui suivent, le terme 'un cas' pourrait être remplacé par 'un exemple' si cela ne portait pas à confusion)

Un cas de preuve par l'exemple d'une propriété existentielle

A démontrer : il existe des entiers multiples de 2 et 3.

Preuve par 2 exemples : il suffit de prendre n=6, n=12.

Un cas de contre-exemple pour une propriété universelle

A réfuter : pour tout entier n, n est multiple de 2 et 3.

Contre-exemple : il suffit de prendre n=5.

Un cas de preuve par l'exemple d'une propriété universelle

Le travail à produire est plus important.

A démontrer : pour tout entier n, (n + 1)² est égal à n² + 2n + 1

Preuve par 3 exemples : si l'on regarde la différence (n + 1)² − (n² + 2n + 1), il suffit de prouver que cette différence est toujours nulle. Sans faire les calculs, cette expression peut être assimilée à une forme polynomiale en n de degré 2 maximum^{[réf. nécessaire]}. Si elle est de degré 2 ou de degré 1, elle n'a que 2 ou 1 zéros. Or pour n=0, n=1, n=2 (3 exemples pris au hasard, l'important c'est d'avoir un exemple de plus que le degré maximum supposé), (n + 1)² − (n² + 2n + 1) vaut zéro, cette forme polynomiale ne peut donc être de degré 2 ou 1, elle est donc de degré 0, et sa valeur est constante, elle vaut donc 0, donc (n + 1)² − (n² + 2n + 1) est identiquement nul. cqfd.

Remarque : une preuve un peu plus poussée, en utilisant la méthode proposée par Hong^[1], permet de n'utiliser qu'un seul exemple , pour cela il faut raisonner sur les valeurs possibles des coefficients de (n + 1)² − (n² + 2n + 1) -en supposant que ce n'est pas le polynôme nul- et en déduire le rayon de la sphère où se trouvent les zéros. Alors, en prenant un exemple numérique hors de cette sphère, si la valeur de cette forme polynomiale est égale à 0, c'est que la forme polynomiale est identiquement nulle.

Notes et Références

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