Opérateur non borné

Opérateur non borné

En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie.

Plus précisément, soient X,Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous espace dom(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est dom(T) et l'ensemble d'arrivée est Y.

Sommaire

Exemple

Considérons T de L^2(\R) dans lui-même, défini sur \text{dom}(T) = H^1(\R) l'espace de Sobolev des fonctions L2 qui admettent une dérivée au sens des distributions qui appartient à L^2(\R). On pose T(f) = f' (dérivée au sens des distributions). T est un opérateur non borné.

Opérateurs fermés

La classe des opérateurs fermés (en) est l'analogue non borné des opérateurs continus.

Soient E,F des espaces de Banach. Un opérateur non borné T de E vers F est dit fermé si son graphe est un sous-espace fermé de E \times F.

Adjoint d'un opérateur non borné

Dans le cas d'un opérateur non borné sur un espace de Hilbert H, si D(T) est dense, on peut définir son opérateur adjoint T * en posant :

D(T^*) = \{ \phi \in H | \exists \eta \in H :\forall \psi \in D(T), < T \psi, \phi> = <\psi, \eta> \}.

Pour un \phi~ donné, si un tel η existe, alors il est unique et on pose T * (ϕ) = η. Par le théorème de Hahn-Banach et le théorème de représentation de Riesz, nous voyons également que η existe si et seulement s'il existe une constante C telle que quel que soit ψ, |< T \psi , \phi>| \leqslant C \| \psi \| .

Théorème de von Neumann — Soit T un opérateur (non borné) fermé d'un espace de Hilbert dans un autre. Si T est de domaine dense alors T*T l'est aussi et est autoadjoint.

Commutation d'opérateurs auto-adjoints non bornés

La « bonne définition » de la commutation des opérateurs auto-adjoints non bornés est donnée par le théorème suivant :

Commutation des opérateurs non bornés —  Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • A et B commutent
  • Si les parties imaginaires de λ et μ sont non nulles, Rλ(A)Rμ(B) = Rμ(B)Rλ(A)
  • Quels que soient s,t réels, eitAeisB = eisBeitA

Un exemple de Nelson prouve en revanche :

Il existe des opérateurs essentiellement autoadjoints A:D\to D et B:D\to D sur un ensemble dense D, tels que

  • ABφ − BAφ = 0 quel que soit \varphi \in D, mais
  • A ne commute pas avec B.
Exemple de Nelson

Soit M la surface de Riemann associée à la racine carrée. Prenons A = -i \frac{\partial}{\partial x} et B = -i \frac{\partial}{\partial y} sur l'ensemble D des fonctions régulières à support compact excluant l'origine. Nous avons alors :

  1. A et B sont essentiellement auto-adjoints sur D.
  2. A : D \longrightarrow D et B : D \longrightarrow D
  3. ABϕ = BAϕ quel que soit \phi \in D
  4. eitA et eisB ne commutent pas.

Cet exemple prouve que la commutation de deux opérateurs non bornés est quelque chose de très délicat.

Références

  • Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
  • (en) M. Reed (en) et B. Simon (en), Functional Analysis, Academic Press, 1970

Voir aussi

Lien externe

Analyse fonctionnelle et théorie spectrale [PDF] B. Maurey, université Paris 7. Le chapitre 11 présente les opérateurs non bornés auto-adjoints.

Articles connexes

Opérateur borné

v · Analyse fonctionnelle
Théorèmes Ascoli · Baire · Banach-Alaoglu · Banach-Mazur · Banach-Schauder · Banach-Steinhaus · Graphe fermé · Hahn-Banach · Lax-Milgram
Divers Fonctionnelle · Calcul des variations · Dérivée fonctionnelle · Espace de Banach · Algèbre de Banach · C*-algèbre · Espace de Hilbert · Espace de Fréchet · Variété banachique · Espace fonctionnel · Noyau reproduisant · Série de Fourier · Transformée de Fourier · Distribution · Topologie faible

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