Opérateur normal

Opérateur normal

Endomorphisme normal

Définition

Soit E \, un espace préhilbertien, réel ou complexe. Soit u\, un endomorphisme de E \, admettant un adjoint u^* \,. On dit que u \, est normal si \ u\circ u^*=u^*\circ u\,.

Exemples

  • les endomorphismes autoadjoints sont normaux.
  • les endomorphismes antiautoadjoints sont normaux.
  • Les isométries vectorielles sont des endomorphismes normaux.

Propriétés

  • Soient E un espace hermitien (resp. un espace euclidien) et u un endomorphisme normal de E. Soit F un sous-espace vectoriel de E qui soit u-stable. Alors F et \scriptstyle F^{\perp} sont à la fois u-stables et u * -stables.
  • Si E est un \mathbb{R} ou \mathbb{C} espace vectoriel muni d'une norme \ \Vert . \Vert \ alors \ \Vert u(\vec{v})\Vert = \Vert u^*(\vec{v})\Vert \ \forall \vec{v} \in E .
  • Si E est de dimension finie, Sp(u^*)=\{\bar{\lambda} : \lambda\in Sp(u) \} \ , où \ Sp \ est le spectre de l'application.
  • Si \ \vec{v} \ est un vecteur propre de u associé à une valeur propre λ, alors il est un vecteur propre de u * pour la valeur propre \bar{\lambda}.


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