- Nombre hyperparfait
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En mathématiques, un nombre k-hyperparfait (quelquefois simplement appelé nombre hyperparfait) est un nombre naturel n pour lequel l'égalité
reste valable, où 
est la fonction diviseur (c.a.d., la somme de tous les diviseurs positifs de n). Un nombre est parfait ssi il est 1-hyperparfait.Sommaire
Suites de nombres
Les premiers petits nombres dans la suite des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (suite A034897 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières), avec les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite A034898 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières). Les premiers petits nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suiteA007592 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières).
Table
La table suivante liste les premiers petits nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières :
k OEIS Quelques nombres k-hyperparfaits connus 1 A000396 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... 2 A007593 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... 3 325, ... 4 1950625, 1220640625, ... 6 A028499 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... 10 159841, ... 11 10693, ... 12 A028500 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... 18 A028501 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... 19 51301, ... 30 3901, 28600321, ... 31 214273, ... 35 306181, ... 40 115788961, ... 48 26977, 9560844577, ... 59 1433701, ... 60 24601, ... 66 296341, ... 75 2924101, ... 78 486877, ... 91 5199013, ... 100 10509080401, ... 108 275833, ... 126 12161963773, ... 132 96361, 130153, 495529, ... 136 156276648817, ... 138 46727970517, 51886178401, ... 140 1118457481, ... 168 250321, ... 174 7744461466717, ... 180 12211188308281, ... 190 1167773821, ... 192 163201, 137008036993, ... 198 1564317613, ... 206 626946794653, 54114833564509, ... 222 348231627849277, ... 228 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... 252 389593, 1218260233, ... 276 72315968283289, ... 282 8898807853477, ... 296 444574821937, ... 342 542413, 26199602893, ... 348 66239465233897, ... 350 140460782701, ... 360 23911458481, ... 366 808861, ... 372 2469439417, ... 396 8432772615433, ... 402 8942902453, 813535908179653, ... 408 1238906223697, ... 414 8062678298557, ... 430 124528653669661, ... 438 6287557453, ... 480 1324790832961, ... 522 723378252872773, 106049331638192773, ... 546 211125067071829, ... 570 1345711391461, 5810517340434661, ... 660 13786783637881, ... 672 142718568339485377, ... 684 154643791177, ... 774 8695993590900027, ... 810 5646270598021, ... 814 31571188513, ... 816 31571188513, ... 820 1119337766869561, ... 968 52335185632753, ... 972 289085338292617, ... 978 60246544949557, ... 1050 64169172901, ... 1410 80293806421, ... 2772 A028502 95295817, 124035913, ... 3918 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... 9222 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... 9828 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... 14280 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... 23730 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... 31752 A034916 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... 55848 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... 67782 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... 92568 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... 100932 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... Propriétés
Il peut être montré que si
est un nombre entier impair et 
et 
sont des nombres premiers, alors 
est k-hyperparfait; Judson S. McCraine a conjecturé en 2000 que tous les nombres k-hyperparfaits pour impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, il peut être démontré que si 
sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que 
, alors p.q est k-hyperparfait.Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et
est premier, alors pour tout i > 1 tel que 
est premier, 
est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait :k OEIS Valeurs de i 16 A034922 11, 21, 127, 149, 469, ... 22 17, 61, 445, ... 28 33, 89, 101, ... 36 67, 95, 341, ... 42 A034923 4, 6, 42, 64, 65, ... 46 A034924 5, 11, 13, 53, 115, ... 52 21, 173, ... 58 11, 117, ... 72 21, 49, ... 88 A034925 9, 41, 51, 109, 483, ... 96 6, 11, 34, ... 100 A034926 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ... Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- (en) Hyper Perfect Number
Lectures plus poussées
Articles
- Daniel Minoli, Robert Bear, Hyperperfect Numbers, PME (Pi Mu Epsilon) Journal, University Oklahoma, Fall 1975, pp. 153-157.
- Daniel Minoli, Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers, Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem; Vol. 4, No. 2, Dec 1978, pp. 277-302.
- Daniel Minoli, Structural Issues For Hyperperfect Numbers, Fibonacci Quarterly, Feb. 1981, Vol. 19, No. 1, pp. 6-14.
- Daniel Minoli, Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers, Mathematics of Computation, Vol. 34, No. 150, April 1980, pp. 639-645.
- Daniel Minoli, New Results For Hyperperfect Numbers, Abstracts American Math. Soc., October 1980, Issue 6, Vol. 1, pp. 561.
- Daniel Minoli, W. Nakamine, Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms, 1980 IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing.
- Judson S. McCranie, A Study of Hyperperfect Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000),
Catégorie :- Propriété arithmétique
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