Fonction Diviseur

Fonction diviseur

Cet article traite de la fonction diviseur. Pour la fonction sigma de Rado, voir Castor affairé (busy beaver).

Sommaire

1 Definition
2 Propriétés
3 Fonction nombre de diviseurs
4 Fonction somme de diviseurs
5 Voir aussi

Definition

En mathématiques, la fonction diviseur σ_a(n) est définie comme la somme des a-ièmes puissances des diviseurs positifs de n, ou

$\sigma_{a}(n)=\sum_{d|n} d^a.\,\!$

Propriétés

Si nous écrivons la décomposition en facteurs premiers :

$n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha_{i}}$

alors nous avons :

$\sigma_a(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(\alpha_{i}+1)a}-1}{p_{i}^a-1}.$

Ainsi, la fonction diviseur est multiplicative, mais n'est pas complètement multiplicative. La relation de multiplicativité s'exprime de la façon suivante :

$\sigma_a(m)\sigma_a(n)=\sum_{d\mid n} d^a\sigma_a\left(\frac{mn}{d^2}\right)$

ou, de façon équivalente :

$\sigma_a(mn)=\sum_{d\mid (m,n)}\mu(d)\sigma_a\left(\frac{m}{d}\right)\sigma_a\left(\frac{n}{d}\right)$

où la somme du membre de droite porte sur les diviseurs positifs communs à $m$ et $n$ et $μ$ est la fonction de Möbius. De façon encore équivalente, à ces règles de multiplicativité, la fonction $σ a$ est caratérisée par

si $m$ et $n$ sont premiers entre eux alors $σ a (m n) = σ a (m)σ a (n)$ ;
si $p$ est premier alors $σ a (p) = 1 + p a$
si $p$ est premier et $n$ entier naturel alors

$\frac{\sigma_a(p^n)}{p^{an/2}}=X_n\left(\frac{\sigma_a(p)}{p^{a/2}}\right)$

où $X n$ est le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré $n$ défini sur [-2,2] par

$X_n(2\cos\theta)=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$

(c'est une normalisation usuelle en théorie des nombres du polynôme de Tchebychev $U n$ : $X n (T) = U n (T / 2)$ ).

La série de Dirichlet associée à $σ a$ est :

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)$

et on a la relation :

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.$

Fonction nombre de diviseurs

La fonction $σ 0$ est aussi appelée fonction tau $τ(n)$ . Elle compte le nombre de diviseurs positifs de $n$ :

$\tau(n)=\sum_{d|n} 1 = \# \{ d>0 : d|n \}.\!$

Fonction somme de diviseurs

La fonction sigma $σ 1$ est parfois notée $σ$ , on a

$\sigma(n)=\sum_{d|n} d.\,\!$

Par exemple si p est un nombre premier,

$\sigma (p)=p+1\,\!$

car, par définition, les diviseurs d'un nombre premier sont 1 et lui-même.

Nous notons aussi

$s(n) = \sigma(n) - n\,\!$ .

Cette fonction est utilisée pour reconnaître les nombres parfaits qui ont, pour n

$s(n) = n\,\!$ .

Par exemple, pour deux nombres premiers distincts p et q, soit

$n = pq\,\!$

Alors

$\phi(n) = (p-1)(q-1) = n + 1 - (p+q)\,\!$

$\sigma(n) = (p+1)(q+1) = n + 1 + (p+q)\,\!$

Voir aussi

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Catégorie : Algèbre

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