Nombre abondant

Nombre abondant

En mathématiques, un nombre abondant est un nombre entier naturel non nul qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts ; autrement dit, c'est un entier n strictement positif tel que (en ajoutant n de part et d'autre de l'inégalité précédente) :

2n < \sigma(n)\ ,

σ(n) est la somme des entiers positifs diviseurs de n, y compris n cette fois.

Les nombres abondants ont été introduits vers 130 de notre ère par Nicomaque de Gérase dans son Introduction à l'arithmétique.

Leurs premières valeurs sont : 12, 18, 20, 24, 30, 36, ... (voir suite A005101 de l’OEIS).

La valeur \sigma(n)-2n \, est appelée abondance de n. Les nombres dont l'abondance est nulle sont les nombres parfaits, et les nombres dont l'abondance est strictement négative les nombres déficients.

Un nombre abondant dont l'abondance est égale à 1 est appelé quasi-parfait, mais on ne sait pas à l'heure actuelle s'il en existe. Par contre, on remarquera que 20 a une abondance égale à 2.

Tout multiple strict d'un nombre parfait ou abondant est abondant. Il existe donc une infinité de nombres abondants, à commencer par les multiples stricts de 6.

Nombres abondants primitifs

Un nombre abondant est dit primitif s'il n'est pas multiple strict d'un nombre abondant ; alors qu'on ne sait pas à l'heure actuelle s'il existe une infinité de nombres parfaits, on sait trouver une infinité de nombres abondants primitifs, comme par exemple les nombres de la forme 2npp est un nombre premier impair qui n'est pas un nombre de Mersenne et 2n la plus grande puissance de 2 inférieure à p (lorsque p est un nombre de Mersenne, 2np est parfait).

Le premier nombre abondant impair (et primitif) est 945 = 33.5.7 ; alors qu'on n'a jamais trouvé de nombre parfait impair (mais qu'on n'a jamais démontré qu'il n'y en avait pas), on sait qu'il existe une infinité de nombres abondants primitifs impairs (voir suite A006038 de l’OEIS qui possède comme sous-suite infinie suite A007741 de l’OEIS privée de son premier terme).

Anecdote au sujet du plus petit abondant impair : suite à une coquille, il a été écrit dans un livre d'Edouard Lucas au XIXe siècle que le plus petit abondant impair était 10665 = 33.5.79 (le 7 a été malencontreusement remplacé par 79). Cette erreur a été recopiée dans de nombreux livres, en particulier dans le très sérieux dictionnaire des mathématiques (PUF) où elle n'a été corrigée que dans l'édition de 2005.

Les premiers nombres abondants primitifs impairs (945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, etc) sont tous multiples de 3 et 5, mais ce n'est pas une propriété générale ; le plus petit abondant impair non multiple de 3 est 52.7.11.13.17.19.23.29 = 5391411025 et pour tout entier k, il existe une infinité de nombres abondants primitifs qui ne sont divisibles par aucun des k premiers nombres premiers (voir suite A047802 de l’OEIS).

D'autre part, pour tout entier k, il n'y a qu'un nombre fini de nombres abondants primitifs impairs dont le nombre de diviseurs premiers est égal à k[1].

Note

  1. (en) Leonard Eugene Dickson, « Finiteness of the odd perfect and primitive abundant numbers with n distinct prime factors », dans American J. Math., vol. 35, 1913, p. 413-422 [lien DOI] 

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre abondant de Wikipédia en français (auteurs)

Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Nombre Abondant — En mathématiques, un nombre abondant est un nombre entier naturel n qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que où est la somme des diviseurs entiers positifs de n y compris n. Les nombres abondants… …   Wikipédia en Français

  • Nombre excessif — Nombre abondant En mathématiques, un nombre abondant est un nombre entier naturel n qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que où est la somme des diviseurs entiers positifs de n y compris n. Les… …   Wikipédia en Français

  • abondant — abondant, ante [ abɔ̃dɑ̃, ɑ̃t ] adj. • 1120; lat. abundans 1 ♦ Qui abonde, est en grande quantité. Récolte abondante. Abondante nourriture. ⇒ copieux, plantureux. « Une abondante chevelure » (Barrès). ⇒ épais, foisonnant, opulent. « D abondantes… …   Encyclopédie Universelle

  • Nombre Parfait — Un nombre parfait est un nombre entier n strictement supérieur à 1 qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que où σ(n) est la somme des diviseurs entiers positifs de n, n non compris. Le premier nombre parfait est 6,… …   Wikipédia en Français

  • Nombre aimable — Nombre amical En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, deux nombres entiers n et m sont dits amicaux ou aimables ou amiables si où est la fonction donnant la somme des diviseurs entiers positifs de , incluant lui même.… …   Wikipédia en Français

  • Nombre amiable — Nombre amical En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, deux nombres entiers n et m sont dits amicaux ou aimables ou amiables si où est la fonction donnant la somme des diviseurs entiers positifs de , incluant lui même.… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Déficient — En mathématiques, un nombre déficient est un nombre entier naturel n qui est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que σ(n) < 2n où σ(n) est la somme des diviseurs entiers positifs de n y compris n . La… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Presque Parfait — En mathématiques, un nombre presque parfait (quelquefois appelé aussi nombre légèrement déficient) est un entier naturel n tel que la somme de tous les diviseurs de n (ie. la fonction diviseur ) est égale à 2n 1. Les seuls nombres presque… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Quasi Parfait — En mathématiques, un nombre quasi parfait est un entier n tel que . Où est la fonction donnant la somme des diviseurs entiers positifs de n, incluant n. Aucun nombre quasi parfait n a été trouvé jusqu à aujourd hui, mais il a été prouvé que si un …   Wikipédia en Français

  • Nombre Semi-Parfait — En mathématiques, un nombre semi parfait ou nombre pseudoparfait est un nombre naturel n qui est égal à la somme de certains ou de tous ses diviseurs propres. Les premiers petits nombres semi parfaits sont 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, ...… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”