Somme des diviseurs

Somme des diviseurs

En arithmétique, la somme des diviseurs d'un nombre entier strictement positif est l'entier obtenu en effectuant la somme de tous les diviseurs positifs de cet entier.

La fonction qui, à l'entier n, associe la somme de ses diviseurs est souvent notée σ.

Ainsi σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 , σ(p) = p + 1 pour tout nombre premier p et σ(1) = 1.

Cette fonction intervient dans l'étude des nombres parfaits, amiables, déficients ou abondants, des nombres intouchables ou sublimes ou dans les suites aliquotes. Elle est aussi étudiée dans le cadre de l'hypothèse de Riemann.

C'est un exemple de fonction multiplicative.

On étudie aussi parfois la somme des diviseurs propres de n. C'est l'entier obtenu en effectuant la somme de tous les diviseurs positifs de n strictement inférieurs à n. Si on appelle s(n) ce nombre, on a la relation suivante :

s(n) = σ(n) − n


Sommaire

Propriétés

La fonction σ est une fonction multiplicative, c'est-à-dire que, pour tout entier a et b premiers entre eux, \sigma (ab)=\sigma(a)\cdot\sigma(b)

En effet, si a et b sont premiers entre eux, d est un diviseur de ab si et seulement si d peut s'écrire dadbda est un diviseur de a et db un diviseur de b, cette décomposition est unique. Un regroupement judicieux des diviseurs dans le calcul de σ(ab) permet alors de conclure :

\sigma(ab)=\sum_{d/ab}d=\sum_{d_a/a}\left(\sum_{d_b/b}d_ad_b\right) =\sum_{d_a/a}\left(d_a\sum_{d_b/b}d_b\right) =\sum_{d_a/a}\left(d_a\sigma_b\right) =\sigma_b\sum_{d_a/a}d_a = \sigma(a)\cdot\sigma(b)

La somme des termes d'une suite géométrique permet de calculer la somme des diviseurs d'une puissance d'un nombre premier :

\sigma(p^k) = \sum_{i=0}^k p^i = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}

L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer la somme des diviseurs de n connaissant sa décomposition en facteurs premiers. Si

n= \prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}

alors

\sigma(n)=\prod_{i=1}^k\frac{p_i^{\alpha_i + 1}-1}{p_i-1}

Loi d'Euler

Léonard Euler énonce en 1752[1] un résultat qu'il appelle Loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs permettant de déterminer la somme des diviseurs de n à l'aide d'une formule de récurrence:

\sigma(n) = \sigma(n-1)+\sigma(n-2) - \sigma(n-5)- \sigma(n-7) + \sigma (n-12) + \cdots

où 1, 2, 5, 7, 12, est la suite des nombres pentagonaux généralisés

\sigma(n) = \sum_{i\in \N^*} (-1)^{i+1}f_n\left(n-\frac {i(3i+1)}2\right) avec

avec

fn(k) = σ(k) si k > 0
fn(0) = n
fn(k) = 0 si k <0

Loi qu'il démontre en 1754[2] à l'aide de l'écriture en série d'un produit infini :

(1-x)(1-x^2)(1-x^3) ... = \prod_{i=1}^{+ \infty}(1-x^i)= \sum_{- \infty}^{+ \infty}(-1)^ix^{\frac{i(3i+1)}2}

Somme des diviseurs et hypothèse de Riemann

Comportement de la fonction sigma sur les 250 premiers entiers

La fonction somme des diviseurs a été étudiée dans le cadre de la démonstration de l'hypothèse de Riemann.

J. Lagarias lie la somme des diviseurs à la série harmonique (Hn) et prouve[3] que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si :

pour tout entier n,  \sigma(n) \le H_n+\exp( H_n)\ln(H_n)

Il a aussi été prouvé (théorème de Grönwall[4] - 1913) que

 \limsup_{n \to + \infty}\dfrac{\sigma(n)}{n\ln(\ln (n))}=e^{\gamma}

eγ est la constante d'Euler-Mascheroni

Le critère de Robin[5] (1984) stipule que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si

\sigma(n) < n e^{\gamma}ln(\ln(n))\,

pour tout  n \ge 5041.

Cette inégalité a déjà été établie pour 70% des entiers naturels[6]

Notes et références

  1. Léonheard Euler, Commentationes arithmeticae collectae, volume I , Observatio de summis divisorum p 148
  2. Léonheard Euler, Commentationes arithmeticae collectae, volume I , Demonstration theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum p 234
  3. Jeffrey C. Lagarias, 'An Elementary Problem equivalent to the Riemann Hypothesis, mai 2001
  4. Weisstein, Eric W. "Gronwall's Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  5. Weisstein, Eric W. "Robin's Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  6. Patrick Solé, Somme de diviseurs et hypothèse de Riemann

Bibliographie

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Somme des diviseurs de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Groupe des diviseurs — Diviseur (géométrie algébrique) Les Diviseurs de Weil et de Cartier sont des outils de la géométrie algébrique. En géométrie algébrique, comme en analyse complexe, ou en géométrie arithmétique, les diviseurs forment un groupe qui permet de saisir …   Wikipédia en Français

  • Table des diviseurs — Les tables ci dessous listent tous les diviseurs des nombres de 1 à 1000. Un diviseur d un nombre entier n est un entier m, tel que n/m est encore un entier (qui est aussi nécessairement un diviseur de n). Par exemple, 3 est un diviseur de 21,… …   Wikipédia en Français

  • Somme de gauss — En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, la somme de Gauss est un nombre complexe. La Somme de Gauss utilise les outils de l analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini Z/pZ où p désigne un nombre… …   Wikipédia en Français

  • Somme de Gauss — Pour les articles homonymes, voir Somme. En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, la somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de diviseurs — Diviseur (géométrie algébrique) Les Diviseurs de Weil et de Cartier sont des outils de la géométrie algébrique. En géométrie algébrique, comme en analyse complexe, ou en géométrie arithmétique, les diviseurs forment un groupe qui permet de saisir …   Wikipédia en Français

  • NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique — Ce qu’on appelle la «théorie analytique des nombres» ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu’on donne à ces mots, c’est à dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné… …   Encyclopédie Universelle

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Theorie des nombres — Théorie des nombres Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s occupe des propriétés des nombres entiers, qu ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu il… …   Wikipédia en Français

  • Théorie des nombres — Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s occupe des propriétés des nombres entiers, qu ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu il est facile de… …   Wikipédia en Français

  • NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques — Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c’est à dire qu’ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers: il en est ainsi du rapport de la diagonale d’un carré à son côté, puisque… …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”