Approximation linéaire

Tangente au point (a, f(a))

En mathématiques, une approximation linéaire est une approximation d'une fonction, par une fonction affine.

Par exemple, étant donné une fonction dérivable $f$ d'une variable réelle, et un réel $a$ , il existe une fonction $\varepsilon$ définie dans un voisinage de $a$ telle que

$f(x)=f(a)+f\,'(a)(x - a)+\varepsilon(x)$

$\varepsilon$ s'appelle le reste. Cette formule apparaît comme un cas particulier ( $n = 1$ ) de la formule de Taylor : c'est un développement limité d'ordre 1.

Une approximation linéaire de $f$ s'obtient en négligeant le reste. La fonction $x\mapsto f(a) + f\,'(a)(x-a)$ représente alors une approximation linéaire de $f$ en $a$ .

On écrit alors, pour $x$ dans un voisinage de $a$

$f(x) \simeq f(a)+f\,'(a)(x-a)$ .

L'expression de droite correspond à l'équation $y=f(a)+f\,'(a)(x-a)$ de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $(a, f (a))$ , et pour cette raison, certains appellent cette méthode l'approximation tangente ou approximation affine tangente.

Il est aussi possible d'utiliser des approximations pour les fonctions vectorielles d'une variable vectorielle, dans laquelle $f\,'(a)$ est remplacée par une matrice jacobienne. L'approximation correspond alors à l'équation d'une droite tangente, ou d'un plan tangent, ou d'un hyperplan tangent. Cela s'applique aussi aux fonctions d'une variable complexe.

Dans le cas plus général des espaces de Banach, on peut écrire

$f(x) \simeq f(a) + \mathrm Df(a)(x - a)$

où $D f (a)$ est la différentielle de $f$ en $a$ . Ici l'application linéaire n'est autre que $D f (a)$ .

Exemples

Pour trouver une valeur approchée de $\sqrt[3]{25}$ il est possible de procéder de la manière suivante:

considérer la fonction $f$ définie par $f(x)= x^{1\over 3}\,$ . Le problème se ramène à la recherche d'une valeur approchée de $f (25)$ .
$f$ est une fonction puissance donc dérivable sur $\R_+^*$ et la dérivée est donnée par

$f\,'(x)= \frac13 x^{-\frac23}$ .
Par l'approximation linéaire donnée par la dérivée, il vient, en prenant $a = 27$ :

$f(25) \simeq f(27) + f\,'(27)(25 - 27) = 3 - \frac2{27}$ .
La valeur approchée 2,926 obtenue, apparaît assez proche de la valeur exacte 2,924…

Ce document provient de « Approximation lin%C3%A9aire ».

Catégories : Analyse | Analyse numérique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Approximation linéaire de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

Approximation Linéaire — Tangente au point (a, f(a)) En mathématiques, une approximation linéaire est une approximation d une fonction, par une fonction affine. Par exemple, étant donné une fonction dérivable f d une variable … Wikipédia en Français
Approximation lineaire — Approximation linéaire Tangente au point (a, f(a)) En mathématiques, une approximation linéaire est une approximation d une fonction, par une fonction affine. Par exemple, étant donné une fonction dérivable f d une variable … Wikipédia en Français
approximation linéaire — tiesinė aproksimacija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. linear approximation vok. lineare Approximation, f rus. линейная аппроксимация, f pranc. approximation linéaire, f … Automatikos terminų žodynas
approximation linéaire — tiesinė aproksimacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear approximation vok. lineare Approximation, f rus. линейная аппроксимация, f pranc. approximation linéaire, f … Fizikos terminų žodynas
Approximation De Gauss — L approximation de Gauss (d après le physicien allemand Carl Friedrich Gauss) est l approximation linéaire de l optique géométrique[1] obtenue lorsque les angles d incidence des rayons sont faibles et que le point d incidence est proche de l axe… … Wikipédia en Français
Approximation de gauss — L approximation de Gauss (d après le physicien allemand Carl Friedrich Gauss) est l approximation linéaire de l optique géométrique[1] obtenue lorsque les angles d incidence des rayons sont faibles et que le point d incidence est proche de l axe… … Wikipédia en Français
Approximation paraxiale — Approximation de Gauss L approximation de Gauss (d après le physicien allemand Carl Friedrich Gauss) est l approximation linéaire de l optique géométrique[1] obtenue lorsque les angles d incidence des rayons sont faibles et que le point d… … Wikipédia en Français
Approximation affine — Tangente au point (a, f(a)) En mathématiques, une approximation affine est une approximation d une fonction au voisinage d un point à l aide d une fonction affine. Par exemple, étant donné une fonction dérivable f d une variable réelle … Wikipédia en Français
Approximation — Une approximation est une représentation imprécise ayant toutefois un lien étroit avec la quantité ou l’objet qu’elle reflète : approximation d’un nombre (de Pi par 3.14, de la vitesse instantanée d’un véhicule par sa vitesse moyenne entre… … Wikipédia en Français
Approximation de Gauss — L approximation de Gauss (d après le physicien allemand Carl Friedrich Gauss) est l approximation linéaire de l optique géométrique[1] obtenue lorsque les angles d incidence des rayons sont faibles et que le point d incidence est proche de l axe… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Approximation linéaire