Matrices de Pauli

Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base de l'algèbre de Lie du groupe SU(2).

Elles sont définies comme l'ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :

$\sigma_1 = \sigma_x =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \sigma_y =\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \sigma_z =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(où i est l’unité imaginaire des nombres complexes)

Ces matrices sont utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules, notamment dès 1927 dans l'étude non-relativiste du spin de l'électron : l'équation de Pauli.

Sommaire

1 Propriétés
- 1.1 Identités
- 1.2 Autres propriétés
2 Physique
3 Articles connexes
4 Référence

Propriétés

Identités

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I_2$
$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!$
$\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!$
$\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!$
$\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\mbox{ pour }i\ne j\,\!$

Autres propriétés

Le déterminant et la trace des matrices de Pauli sont :

$\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \end{matrix}\quad \hbox{pour}\ i \in \{1; 2; 3\}$

Par conséquent, les valeurs propres de chaque matrice sont $\pm 1$ .

Les matrices de Pauli obéissent aux relations de commutativité et anticommutativité suivantes :

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\epsilon_{ijk}\,\sigma_k \\[1ex] \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{ij} \cdot I \end{matrix}$

où $\epsilon_{ijk}$ est le symbole de Levi-Civita, $δ i j$ est le delta de Kronecker et $I$ est la matrice identité. Les relations ci-haut peuvent être vérifiées en utilisant :

$\sigma_i \sigma_j = i \epsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot I$ .

Ces relations de commutativité sont semblables à celles sur l'algèbre de Lie $\mathfrak{su}(2)$ et, en effet, $\mathfrak{su}(2)$ peut être interprétée comme l'algèbre de Lie de toutes les combinaisons linéaires de l'imaginaire $i$ fois les matrices de Pauli $i σ j$ , autrement dit, comme les matrices anti-hermitiennes 2×2 avec trace de 0. Dans ce sens, les matrices de Pauli génèrent $\mathfrak{su}(2)$ . Par conséquent, $i σ j$ peut être vu comme les générateurs infinitésimaux du groupe de Lie correspondant SU(2) .

L'algèbre de $\mathfrak{su}(2)$ est isomorphe à l'algèbre de Lie $\mathfrak{so}(3)$ , laquelle correspond au groupe de Lie SO(3), le groupe des rotations en trois dimensions. En d'autres termes, les $i σ j$ sont des réalisations de rotations « infinitésimales » dans un espace à trois dimensions (en fait, ce sont les réalisations de plus basse dimension).

Physique

En mécanique quantique les iσ_j représentent les générateurs des rotations sur les particules non relativistes de spin ½. L'état de ces particules est représenté par des spineurs à deux composantes, ce qui est la représentation fondamentale de SU(2). Une propriété intéressante des particules de spin ½ est qu'elles doivent subir une rotation de 4π radians afin de revenir dans leur configuration d'origine. Ceci est dû au fait que SU(2) et SO(3) ne sont pas globablement isomorphes, malgré le fait que leur générateur infinitésimal, su(2) et so(3), soient isomorphes. SU(2) est en fait une « revêtement de degré deux » de SO(3) : à chaque élément de SO(3) correspondent deux éléments de SU(2).

En mécanique quantique à plusieurs particules, le groupe de Pauli G_n est également utile. Il est défini comme tous les produits tensoriels à n dimensions de matrices de Pauli.

Avec la matrice identité I, parfois dénotée σ₀, les matrices de Pauli forment une base de l'espace vectoriel réel des matrices hermitiennes complexes 2 × 2. Cette base est équivalente aux quaternions. Lorsque qu'utilisée comme base pour l'opérateur de rotation de spin ½, elle est identique à celle pour la représentation de rotation de quaternion correspondante.

Référence

(en) Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley. ISBN 0805387145.

Portail de la physique

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrices de Pauli de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Matrices De Pauli — Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base du groupe SU(2). Elles sont définies comme l ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes … Wikipédia en Français
Matrices de pauli — Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base du groupe SU(2). Elles sont définies comme l ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes … Wikipédia en Français
Matrices de Pauli — Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, son matrices usadas en física cuántica en el contexto del momento angular intrínseco o espín. Matemáticamente, las matrices de Pauli constituyen una base vectorial del álgebra de Lie… … Wikipedia Español
PAULI (W.) — Enfant prodige, «le fouet de Dieu», «la conscience» de la physique théorique de son temps, le fils spirituel d’Einstein, Wolfgang Pauli, l’un des jeunes génies révolutionnaires de la physique quantique, au cours d’une réflexion rétrospective sera … Encyclopédie Universelle
Pauli matrices — The Pauli matrices are a set of 2 times; 2 complex Hermitian and unitary matrices. Usually indicated by the Greek letter sigma (σ), they are occasionally denoted with a tau (τ) when used in connection with isospin symmetries. They are::sigma 1 =… … Wikipedia
Pauli — Wolfgang Ernst Pauli Cet article fait partie de la série Mécanique quantique Postulats de la mécanique quantique Histoire de … Wikipédia en Français
Matrices de Dirac — Matrice de Dirac Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman … Wikipédia en Français
Matrice de Pauli — Matrices de Pauli Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base du groupe SU(2). Elles sont définies comme l ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes … Wikipédia en Français
Pauli equation — The Pauli Equation, also known as the Schrödinger Pauli equation, is the formulation of the Schrödinger equation for spin one half particles which takes into account the interaction of the particle s spin with the electromagnetic field. It is the … Wikipedia
Matrices aléatoires — Matrice aléatoire Une matrice aléatoire est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires. Face à la complexité croissante des spectres nucléaires observés expérimentalement dans les années 1950, Wigner a suggeré de remplacer l… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Matrices de Pauli

Sommaire