Matrices de Dirac

Matrice de Dirac

Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d'une équation d'onde relativiste de l'électron.

Sommaire

1 Intérêt
2 Matrices de Dirac
3 Le slash de Feynman
4 Représentations
5 Bibliographie

Intérêt

La généralisation naturelle de l'équation de Schrödinger est l'équation de Klein-Gordon. Malheureusement, celle-ci décrit des particules de spin 0 et ne convient pas pour les électrons qui sont de spin 1/2. Dirac essaya alors de trouver une équation linéaire comme celle de Schrödinger sous la forme :

$i \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{1}{i}\mathbf{\alpha}\cdot\nabla+\beta m\right)\psi\equiv H\psi$

où $ψ$ est une fonction d'onde vectorielle, $m$ la masse de la particule, $H$ l'hamiltonien et $\mathbf{\alpha},\beta$ sont respectivement un vecteur de matrices hermitiques et une matrice hermitique. L'équation de Dirac doit respecter les trois points suivants :

Les composantes de $ψ$ doivent satisfaire l'équation de Klein-Gordon, une onde plane dont une solution est :

$E^2=\mathbf{p}^2+m^2$
Il existe un quadrivecteur densité de courant qui est conservé et dont la composante temporelle est une densité positive (identifiée avec la charge électrique).
Les composantes de $ψ$ ne doivent satisfaire aucune condition auxiliaire, c’est-à-dire qu'à un instant donné elles sont des fonctions indépendantes de $x$ .

Matrices de Dirac

Dirac proposa que les matrices hermitiques soient anticommutantes et de carré égal à un. C’est-à-dire qu'elles obéissent à l'algèbre suivante :

$\left\{\alpha_i,\alpha_k\right\}=0\ i\ne k$

$\left\{\alpha_i,\beta\right\}=0$

$\alpha_i^2:\beta^2=I$

où les crochets sont l'anticommutateur $\left\{A,B\right\}=AB+BA$ .

En élevant l'équation de Dirac au carré, on vérifie immédiatement que la première condition est satisfaite. On introduit ensuite les matrices de Dirac $γ μ$ proprement dites :

γ 0 = β

$\gamma^i=\beta\alpha^i\ i=1,2,3$

$\left\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\right\}=2g^{\mu\nu}$

Le slash de Feynman

On introduit aussi le « slash » de Feynman :

$\not\! a \equiv a_\mu\gamma^\mu$

L'équation de Dirac prend alors la forme :

$\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right)\psi\equiv\left(i\not\!\partial-m\right)\psi=0$

Une représentation explicite, dite « représentation standard », est donnée par :

$\gamma^0=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}$

$\gamma^i=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i \\ -\sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

$\beta=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}$

$\alpha^i=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i \\ \sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

où $I$ est la matrice unité 2×2 et $σ i$ sont les matrices de Pauli.

Cette représentation est particulièrement pratique car elle met en évidence le caractère spinoriel (dû au spin demi-entier) de la fonction d'onde de l'électron et elle sépare les composantes d'énergie positive et négative. Ainsi, en écrivant la fonction d'onde comme un bispineur :

$\psi=\begin{pmatrix}\phi \\ \chi\end{pmatrix}$

où $φ$ et $χ$ sont deux spineurs, l'équation de Dirac devient :

$i \frac{\partial \phi}{\partial t}=m\phi+\frac{1}{i}\mathbf{\sigma}\cdot\nabla\chi$

$i \frac{\partial \chi}{\partial t}=-m\chi+\frac{1}{i}\mathbf{\sigma}\cdot\nabla\phi$

En introduisant la fonction d'onde conjuguée comme :

$\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0$

On trouve :

$\bar\psi\left(i\overleftarrow{\not\!\partial}\right)=0$

Et avec l'équation de Dirac, cela donne :

$\bar\psi\left(\overleftarrow{\not\!\partial}+\overrightarrow{\not\!\partial}\right)\equiv\partial_\mu\left(\bar\psi\gamma^\mu\psi\right)=0$

Ce qui donne un courant conservé :

$j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$

Dont la composante temporelle $j^0=\rho=\bar\psi\gamma^0\psi=\psi^\dagger\psi$ est positive. On définit aussi la matrice :

γ 5 = γ 0 γ 1 γ 2 γ 3

L'utilisation de $γ 5$ permet ainsi de construire différents types de combinaisons tel que :

des vecteurs : $\bar\psi\gamma^\mu\psi$

des pseudovecteurs : $\bar\psi\gamma^5\gamma^\mu\psi$

des scalaires : $\bar\psi\psi$

des pseudoscalaires : $\bar\psi\gamma^5\psi$

On vérifie aisément la covariance relativiste de tout ce formalisme.

Représentations

Les matrices de Dirac sont totalement déterminées par la relation :

γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2η μν

où $η μν$ est le tenseur de Minkowski. On a aussi $γ μ γ μ = 4$ .
Il existe une infinité de solutions possibles à la relation précédente. Pour des matrices 4×4, l'ensemble des solutions est une $\, \Complex-$ algèbre de dimension 4, une algèbre de Clifford notée $\, Cl_{1,3}\Complex \,$ , et les quatre matrices de Dirac en forment une base. Suivant la base choisie les matrices de Dirac ont des coefficients différents, et ce choix s'appelle une représentation des matrices de Dirac.

Représentation de Dirac

C'est la « représentation standard ».

Représentation de Weyl

Représentation de Majorana

La représentation de Majorana est obtenue à partir de la « représentation standard » en échangeant $α 2$ et $β$ et en changeant le signe de $α 1$ et $α 3$ . Elle a la propriété intéressante de rendre l'équation de Dirac réelle dont les solutions sont des combinaisons de solutions réelles.

Représentation chirale

$\gamma^0=\beta=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & -I \\ -I & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

$\mathbf{\alpha}=\begin{pmatrix}\mathbf{\sigma} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{\sigma}\end{pmatrix}$

$\mathbf{\gamma}=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{\sigma} \\ -\mathbf{\sigma} & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

Son avantage est que les deux spineurs se transforment indépendamment sous les rotations et les translations. Elle est particulièrement utile pour des particules sans masse, les équations se simplifiant considérablement. Elle a été utilisée pour le neutrino bien que l'on sache maintenant que celui-ci possède une masse extrêmement petite mais non nulle.

Bibliographie

Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 4 : Électrodynamique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
C.Itzykson, J.B.Zuber Quantum Field Theory
N.Nelipa Physique des particules élémentaires

Portail de la physique

Ce document provient de « Matrice de Dirac ».

Catégorie : Physique théorique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrices de Dirac de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Représentation des matrices de Dirac — Matrice de Dirac Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman … Wikipédia en Français
DIRAC (P.) — Le physicien anglais Dirac est l’une des plus illustres personnalités scientifiques de notre époque. Sa formulation des lois fondamentales de la mécanique quantique et sa découverte de l’équation relativiste de l’électron le placent au même rang… … Encyclopédie Universelle
Dirac equation — Quantum field theory (Feynman diagram) … Wikipedia
Dirac spinor — In quantum field theory, the Dirac spinor is the bispinor in the plane wave solution of the free Dirac equation, where (in the units ) is a relativistic spin 1/2 field … Wikipedia
Dirac algebra — In mathematical physics, the Dirac algebra is the Clifford algebra Cℓ1,3(C) which is generated by matrix multiplication and real and complex linear combination over the Dirac gamma matrices, introduced by the mathematical physicist P. A. M. Dirac … Wikipedia
Dirac operator — In mathematics and quantum mechanics, a Dirac operator is a differential operator that is a formal square root, or half iterate, of a second order operator such as a Laplacian. The original case which concerned Paul Dirac was to factorise… … Wikipedia
Dirac equation in the algebra of physical space — v · Paravector algebra Applications in Physics … Wikipedia
Matrices aléatoires — Matrice aléatoire Une matrice aléatoire est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires. Face à la complexité croissante des spectres nucléaires observés expérimentalement dans les années 1950, Wigner a suggeré de remplacer l… … Wikipédia en Français
Matrices diagonalisables — Matrice diagonalisable En algèbre linéaire, une matrice carrée M d ordre n ( ) à coefficients dans un corps commutatif K, est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c est à dire s il existe une matrice inversible P et… … Wikipédia en Français
Matrices nilpotentes — Matrice nilpotente Une matrice nilpotente est une matrice dont il existe une puissance égale à la matrice nulle. Elle correspond à la notion d endomorphisme nilpotent. Cette notion joue un rôle important dans le monde des matrices. En effet, pour … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Matrices de Dirac

Matrice de Dirac

Sommaire

Intérêt

Matrices de Dirac

Le slash de Feynman