- Anticommutativité
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En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire
est anticommutative si
Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.
Sommaire
Définition
Étant donné un entier naturel n, une opération n-aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.
Plus formellement, une application
de l'ensemble de tous les n-uplets d'éléments d'un ensemble A dans un groupe G est dite anticommutative si pour toute permutation σ de l'ensemble 
, on a :où sgn(σ) désigne la signature de σ.
Cette formule est à interpréter comme suit :
-
- si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe G et (par conséquent)
- si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.
La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée G est seulement un groupe, dans lequel « -1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe G, noté ici additivement, ( − 1)g représente le symétrique (ou opposé) − g d'un élément g.
Le cas n = 2 est particulièrement important. Une opération binaire
est anticommutative sice qui signifie que
est l'élément symétrique de 
dans le groupe G.Exemples
- Sont anticommutatifs :
- la soustraction ;
- le produit vectoriel ;
- le crochet de Lie.
- Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.
Propriété
Si le groupe G est tel que
c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :
- pour toute opération binaire anticommutative et tout élément x1 on a :
;
- plus généralement, pour toute opération n-aire anticommutative, l'image de tout n-uplet
comportant une répétition (i.e. tel que xi = xj pour au moins deux indices i,j distincts) est égale à l'élément neutre :
Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application n-linéaire antisymétrique
(E et F étant des espaces vectoriels sur un même corps K) : si la caractéristique de K est différente de 2 alors le seul vecteur de F égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que f est alternée.Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Anticommutativity » (voir la liste des auteurs)
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. 1-3, Springer Verlag, 2006, 2e éd. (ISBN 978-3-540-33849-9), voir chap. 3 : « Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques (en) »
Voir aussi
Articles connexes
- Loi commutative
- Commutateur (théorie des groupes)
- Algèbre extérieure
- Physique statistique
- Matrice antisymétrique
Lien externe
(en) A. T. Gainov, « Anti-commutative algebra », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2001 (ISBN 978-155608010-4) [lire en ligne]
Catégories :- Algèbre générale
- Vocabulaire de l'algèbre
- Opération
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