Schéma de Bernoulli

Processus de Bernoulli

En probabilités et en statistiques, un processus de Bernoulli est un processus stochastique discret qui consiste en une suite de variables aléatoires indépendantes qui prennent leurs valeurs parmi deux symboles. Prosaïquement, un processus de Bernoulli consiste à tirer à pile ou face plusieurs fois de suite, éventuellement avec une pièce truquée. Une variable dans une séquence de ce type peut être qualifiée de variable de Bernoulli.

Définition

Un processus de Bernoulli est un processus stochastique discret qui consiste en une suite finie ou infinie de variables aléatoires indépendantes X₁, X₂, X₃,... telles que :

quel que soit i, la valeur de X_i est soit 0, soit 1;
pour toutes les valeurs de i, la probabilité que X_i = 1 est le même nombre p.

Autrement dit, un processus de Bernoulli est une suite d'épreuves de Bernoulli. Les deux valeurs possibles pour chaque X_i sont souvent appelées "succès" et "échec", et c'est ainsi que, lorsqu'elle est exprimée sous la forme 0 ou 1, la valeur est décrite comme le nombre de succès de la ième "épreuve". Les différentes variables succès/échec X_i sont également appelées épreuves de Bernoulli.

L'indépendance des épreuves de Bernoulli suppose la propriété d'absence de mémoire : les épreuves passées ne donnent aucune information sur les résultats à venir. À partir de n'importe quel moment, les épreuves futures forment également un processus de Bernoulli indépendant du passé (propriété de départ à neuf).

Les variables aléatoires associées au processus de Bernoulli comprennent

le nombre de succès lors des n premiers essais, qui suit une loi binomiale ;
le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir r succès, qui suit une loi binomiale négative;
le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir un succès, qui suit une loi géométrique, qui est un cas particulier de la loi binomiale négative.

Le problème consistant à exécuter le processus avec seulement un échantillon fini d'épreuves de Bernoulli est connu comme le problème de vérifier si une pièce est normale.

Définition formelle

Le processus de Bernoulli peut être formalisé dans le langage des espaces de probabilités. Un processus de Bernoulli est un espace de probabilités $(Ω, P r)$ associé à une variable aléatoire X sur l'ensemble ${0,1}$ telle que pour chaque $\omega \in\Omega$ , on ait $X i (ω) = 1$ avec la probabilité p et $X i (ω) = 0$ avec la probabilité 1-p.

Suite de Bernoulli

Étant donné un processus de Bernoulli process défini sur un espace de probabilités $(Ω, P r)$ , on peut associer à chaque $\omega \in \Omega$ une suite d'entiers

$\mathbb{Z}^\omega = \{n\in \mathbb{Z} : X_n(\omega) = 1 \}$

appelée la suite de Bernoulli. Ainsi, par exemple, si $ω$ représente une suite de tirages à pile ou face, alors la suite de Bernoulli est la liste d'entiers pour lesquels on a obtenu face.

Presque toutes les suites de Bernoulli sont des suites ergodiques.

Décalage de Bernoulli

Comme chaque épreuve a un résultat parmi deux, la suite des épreuves peut être représentée par les chiffres binaires d'un nombre réel. Quand la probabilité p vaut 1/2, toutes les suites possibles sont équiprobables, c'est pourquoi la mesure de la tribu du processus de Bernoulli est équivalent à la mesure uniforme sur l'intervalle unité : autrement dit, les nombres réels sont distribués uniformément sur l'intervalle unité.

L'opérateur de décalage T qui passe à la variable aléatoire suivante,

T X i = X i + 1

correspond alors au décalage de Bernoulli ou fonction dyadique

b (z) = 2 z - E (2 z)

où $z\in[0,1]$ représente une suite donnée de mesures et où $E (z)$ est la partie entière, le plus grand entier inférieur ou égal à z. En termes familiers, le décalage de Bernoulli fait "sauter" le chiffre le plus à gauche de la représentation binaire de z.

Le décalage de Bernoulli est un modèle soluble exactement de chaos déterministe. L'opérateur d'évolution, appelé également opérateur de Frobenius-Perron, du décalage de Bernoulli peut être déterminé ; ses valeurs propres sont des puissances de 1/2, et ses fonctions propres sont les polynômes de Bernoulli.