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Nombres premiers jumeaux

En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de deux. Hormis pour la paire (2, 3), cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.

Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué Twin Prime Search et PrimeGrid^[1].

La conjecture des nombres premiers jumeaux stipule qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ; les observations numériques et des raisonnements heuristiques justifient la conjecture, mais aucune démonstration n'en a encore été faite.

Sommaire

1 Définition
2 Liste des premiers nombres premiers jumeaux
3 Quelques propriétés
4 Record
5 Conjecture des nombres premiers jumeaux
- 5.1 Résultats partiels
- 5.2 La conjecture de Hardy-Littlewood
6 Notes et références
7 Voir aussi
- 7.1 Articles connexes
- 7.2 Liens externes

Définition

Soit $(p, q)$ un couple de nombres entiers tel que $p$ et $q$ soient tous les deux des nombres premiers et $p < q$ . On dit que $(p, q)$ forme un couple de nombres premiers jumeaux si $q = p + 2$ .

Liste des premiers nombres premiers jumeaux

L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :

(3, 5)	(5, 7)	(11, 13)	(17, 19)	(29, 31)
(41, 43)	(59, 61)	(71, 73)	(101, 103)	(107, 109)
(137, 139)	(149, 151)	(179, 181)	(191, 193)	(197, 199)
(227, 229)	(239, 241)	(269, 271)	(281, 283)	(311, 313)
(347, 349)	(419 , 421)	(431 , 433)	(461 , 463)	(521 , 523)
(569 , 571)	(599 , 601)	(617 , 619)	(641 , 643)	(659 , 661)
(809 , 811)	(821 , 823)	(827 , 829)	(857 , 859)	(881 , 883)

Quelques propriétés

Le couple $(2,3)$ est le seul couple de nombres premiers consécutifs.
En omettant le couple $(2,3)$ , 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs.
Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l'exception du couple $(3,5)$ ) est de la forme $(6 n - 1,6 n + 1)$ pour un certain entier $n$ . En effet, toute série de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; ces deux multiples sont confondus entre les deux nombres premiers jumeaux.
Il est possible de démontrer que, pour tout entier $m \ge 2$ , le couple $(m, m + 2)$ est constitué de nombres premiers jumeaux si et seulement si $4[(m-1)! + 1] + m \equiv 0 \mod m(m+2)$ . Cette caractérisation modulaire et factorielle des nombres premiers jumeaux a été découverte par P. A. Clement en 1949^[2].
La série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente vers la constante de Brun, au contraire de la série des inverses de nombres premiers. Cette propriété fut démontrée par Viggo Brun en 1919^[3].

Record

Le 15 janvier 2007, deux projets de calcul distribué, Twin Prime Search et PrimeGrid, ont découvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux actuellement connu (c’est-à-dire en janvier 2007). Le découvreur est le français Éric Vautier^[1]..

Le couple record est 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1 ; les deux nombres possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale.

Conjecture des nombres premiers jumeaux

La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux:

Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi premier.

Bien que la plupart des chercheurs en théorie des nombres pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Ils se basent sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.

En 1849, Alphonse de Polignac émit une conjecture plus générale : la conjecture de De Polignac dont le cas n = 2 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Il existe également une version plus forte de cette conjecture : la conjecture de Hardy-Littlewood, qui fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et qui s'inspire du théorème des nombres premiers.

Résultats partiels

En 1940, Paul Erdős démontra l'existence d'une constante c < 1 et d'une infinité de nombres premiers p tels que :

p' - p < c ln(p)

où p' désigne le nombre premier suivant immédiatement p.

Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, Maier montra qu'une constante c < 0,25 pouvait être atteinte.

En 2003, Goldston et Yildirim ont démontré que, pour tout c > 0, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p' - p < c ln(p).

En 1966, J.R. Chen a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre, produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit 2-presque-premier).

Son approche fut celle de la théorie du crible, qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach.

La conjecture de Hardy-Littlewood

Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de conjecture de Hardy - Littlewood, en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le théorème des nombres premiers. Soit π₂(x) le nombre de nombres premiers p ≤ x tels que p + 2 soit aussi premier.

On note C₂ le nombre obtenu de la façon suivante :

$C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0,6601618158468695739278121100145 ...$

(ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers p ≥ 3). C₂ est appelé constante des nombres premiers jumeaux^[4]

Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :

$\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int_2^x {dt \over (\ln t)^2}$

(ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1 quand x tend vers l'infini).

Comme le second membre à une limite infinie quand x tend vers l'infini, cette conjecture démontrerait que le nombre de nombres premiers jumeaux est bien infini.

Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(t) est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. Cette conjecture est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood^[5] utilisée dans les recherches sur la conjecture de Goldbach.

Notes et références

↑ ^{a et b} (en) [pdf] Twin Prime Search, Communiqué officiel de la découverte du 15 janvier 2007
↑ (en) P.A. Clement, Congruences for sets of primes, American Mathematical Monthly n° 56 (1949), pp. 23-25
↑ Viggo Brun, La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie, Bulletin des Sciences Mathématiques n°43 (1919), pp. 100-104 et 124-128
↑ Cette constante est parfois appelée constante de Shah-Wilson et son double nommée constante des nombres premiers jumeaux d'après Weisstein, Eric W. "Twin Primes Constant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
↑ d'après Weisstein, Eric W. "Twin Prime Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Voir aussi

Liens externes

(en) Twin Primes (Chris Caldwell)
(en) Introduction to Twin Primes and Brun's Constant (Xavier Gourdon, Pascal Sebah)
(en) Site de Primegrid. Projet de calcul réparti utilisant BOINC afin de rechercher des nombres premiers jumeaux.

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Catégorie : Nombre premier

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