Conjecture De Goldbach

Conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre entier pair strictement supérieur à 2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé plusieurs fois). C'est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques.

Par exemple,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

etc.

Une formulation équivalente via une division par deux :

Tout nombre entier strictement supérieur à 1 est la moyenne de deux nombres premiers.

Origine

En 1742, le mathématicien prussien Christian Goldbach écrivit une lettre au mathématicien suisse Leonhard Euler dans laquelle il proposait la conjecture suivante :

Tout nombre supérieur à 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers.

(Goldbach admettait 1 comme nombre premier; la conjecture moderne exclut 1, et remplace donc 2 par 5)

Ceci est équivalent à ce que tout nombre pair supérieur ou égal à 6 soit somme de deux nombres premiers impairs (puisque n'importe quel nombre plus grand que 5 peut être obtenu en ajoutant 2 ou 3 à un nombre pair plus grand que 2). Une version plus faible de la conjecture stipule simplement que tout nombre impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

Justification heuristique

La majorité des mathématiciens pense que la conjecture de Goldbach est vraie, surtout sur des considérations statistiques axées sur la répartition probabiliste des nombres premiers : plus le nombre est grand, plus il y a de manières disponibles pour le représenter sous forme de somme de deux ou trois autres nombres, et la plus « compatible » devient celle pour qui au moins une de ces représentations est constituée entièrement de nombres premiers.

Une version très grossière de l'argument probabiliste heuristique (pour la forme forte de la conjecture de Goldbach) est la suivante. Le théorème des nombres premiers affirme qu'un entier $m$ sélectionné aléatoirement d'une manière brute possède $\tfrac{1}{\ln m}$ chance d'être premier. Ainsi, si $n$ est un grand entier pair et $m$ , un nombre compris entre 3 et $n / 2$ , alors on peut espérer la probabilité que $m$ et $n - m$ simultanément soient premiers à

$\frac{1}{\ln m \ln (n-m)}$ .

Cet argument heuristique n'est pas rigoureux pour de nombreuses raisons ; par exemple, il est supposé que les éventualités que $m$ et $n - m$ soient premiers sont statistiquement indépendantes les unes des autres. Cependant, si on suit cet argument heuristique, on peut espérer que le nombre total de manières d'écrire un grand nombre entier pair $n$ comme la somme de deux nombres premiers impairs grossièrement à

$\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} \frac{1}{\ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.$

Puisque cette quantité tend vers l'infini lorsque $n$ augmente, nous pouvons espérer que chaque grand entier pair n'a pas qu'une seule représentation sous forme de somme de deux nombres premiers, mais en fait possède beaucoup plus de telles représentations.

L'argument heuristique ci-dessus est en fait quelque peu imprécis, car il ignore certaines corrélations entre les probabilités que $m$ et $n - m$ soient premiers. Par exemple, si $m$ est impair alors $n - m$ est aussi impair, et 2 mis à part, les nombres premiers étant tous impairs. De manière similaire, si $n$ est divisible par 3, et $m$ déjà un nombre premier distinct de 3, alors $n - m$ serait aussi premier avec 3 et ainsi être légèrement plus convenable pour être premier qu'un nombre général. En poursuivant ce type d'analyse avec plus de soin, Hardy et Littlewood conjecturèrent en 1923 (en partie de leur célèbre conjecture des $n$ -uplets premiers de Hardy-Littlewood) que pour tout $c \geq 2$ fixé, le nombre de représentations d'un grand entier $n$ sous la forme de somme de $c$ premiers $n=p_1+ \cdots +p_c$ avec $p_1 \leq \ldots \leq p_c$ devrait être asymptotiquement égal à

$\left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right) \int\limits_{2 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_c \atop x_1+\ldots+x_c = n} \frac{\mathrm dx_1 \ldots \mathrm dx_{c-1}}{\ln x_1 \ldots \ln x_c}$

où le produit couvre tous les nombres premiers $p$ , et $γ c, p (n)$ est le nombre de solutions de l'équation $n = q_1 + \cdots + q_c \mod p$ en arithmétique modulaire, soumise aux contraintes $q_1,\ldots,q_c \neq 0 \mod p$ . Cette formule a été rigoureusement démontrée comme étant asymptotiquement valide pour $c \geq 3$ à partir du travail de Vinogradov, mais est seulement encore une conjecture lorsque $c = 2$ . Dans le dernier cas, la formule ci-dessus se simplifie à 0 lorsque $n$ est impair, et à

$2 \Pi_2 \Biggl(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\Biggr) \int_2^n \frac{\mathrm dx}{\ln^2 x} \approx 2 \Pi_2 \Biggl(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\Biggr) \frac{n}{\ln^2 n}$

lorsque $n$ est pair, où $Π 2$ est la constante des nombres premiers jumeaux

$\Pi_2 = \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0,660161858\ldots.$

Cette formule asymptotique est quelquefois connue comme la conjecture étendue de Goldbach. La conjecture forte de Goldbach est en fait très similaire à la conjecture des nombres premiers jumeaux, et les deux conjectures sont reconnues comme étant globalement de difficulté comparable.

État des recherches

Nombre de façons d'écrire un entier n pair comme somme de deux nombres premiers (4 ≤ n ≤ 1,000,000).

Cette conjecture a fait l'objet de recherches par plusieurs théoriciens des nombres et a été vérifiée par ordinateur pour tous les nombres pairs jusqu'à $1,1 \times 10^{18}$ à la date de février 2008.

Nous savons que tout nombre pair peut être écrit comme une somme d'au plus six nombres premiers. Comme conséquence du travail de Vinogradov, nous pouvons affirmer que tout nombre pair suffisamment grand peut être écrit comme la somme d'au plus quatre entiers premiers. Vinogradov a montré de plus que presque tout nombre pair peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (dans le sens que la proportion des nombres pairs qui peuvent s'écrire sous cette forme tend vers 1). En 1966, Chen Jingrun a montré que tout nombre pair suffisamment grand peut être écrit comme somme d'un nombre premier et d'un nombre ayant au plus deux facteurs premiers.

Afin de faire de la publicité pour le livre Uncle Petros and Goldbach's Conjecture de Apostolos Doxiadis, l'éditeur britannique Tony Faber offrit un prix de 1 000 000 $ pour une preuve de la conjecture en 2000. Le prix ne pouvait être attribué qu'à la seule condition que la preuve soit soumise à la publication avant avril 2002. Il n'a jamais été réclamé.

Culture

En 2007, Luis Piedrahita et Rodrigo Sopeña produisent le film espagnol La cellule de Fermat (La Habitación de Fermat) mettant en scène un jeune mathématicien qui affirme faussement avoir démontré la conjecture et un vieux mathématicien qui, lui, l'aurait démontré.
Le roman Oncle Petros et la Conjecture de Goldbach, d'Apostolos Doxiadis, raconte l'histoire fictive d'un mathématicien ayant consacré sa vie professionnelle à la seule conjecture de Goldbach, gaspillant ainsi ses ressources intellectuelles et se mettant lui-même à l'écart de la vie scientifique et de sa famille. Le roman en profite surtout pour fournir un éclairage culturel sur quelques mathématiciens et logiciens du début du siècle (Kurt Gödel, Alan Turing, Srinivasa Ramanujan, Godfrey Harold Hardy...) et les rapports entre leurs différents travaux.
Le roman Le Théorème du Perroquet, de Denis Guedj, met en scène un mathématicien, qui au fond de l'Amazonie réussit à démontrer la conjecture de Goldbach.

Ce qui suit dévoile des moments clés de l’intrigue.

Refusant de la livrer à l'humanité, il se suicide en brûlant ses recherches. Mais avant, il la fait apprendre par son perroquet. Des mafieux veulent s'approprier l'oiseau mais ce dernier reste muet. Excédés, ils l'abattent. Le roman se termine dans la forêt où le perroquet, blessé, récite la démonstration aux autres animaux. Elle demeure ainsi inconnue des hommes.

Fin des révélations.

Liens externes

Projet de calcul distribué des nombres de Goldbach : http://ntassara.free.fr/sr/
Chris Caldwell : Goldbach's conjecture, extrait des pages sur les nombres premiers
Anjana Ahuja : A million-dollar maths question, The Times of London, 16 mars 2000.
Site coopératif en anglais de vérification de la conjecture de Goldbach.
Les obstinations d'un mathématicien, roman rigolo autour de la conjecture de Goldbach écrit par Didier Nordon [1]

Bibliographie

Apostolos Doxiadis, Oncle Petros et la conjecture de Goldbach, 2000 [détail des éditions]

Portail des mathématiques

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Catégories : Arithmétique | Conjecture | Nombre premier

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