Intégrale de Dirichlet

Intégrale de Dirichlet

L' intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs

\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\textrm{d}x\,\! = \frac{\pi}{2} .

Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire que la fonction n'est pas intégrable au sens généralisé de Riemann, mais \lim_{a \to +\infty} \int_0^{a}\frac{\sin(x)}{x}\,\textrm{d}x\,\! existe.

Sommaire

Étude de la convergence

On a \lim_{0^{+}} f = 1\ , donc f est prolongeable par continuité en 0.

Montrons que cette fonction n'est pas intégrable : on considère, pour tout n \in \mathbb{N} , la suite : u_n = \int_{n \pi} ^{(n+1) \pi} |f(x)|\,\textrm{d}x\,\! = \int_{n \pi} ^{(n+1) \pi} \frac{| \sin(x) |}{x}\textrm{d}x\,\! .

Le changement de variables t = x − nπ donne u_n = \int_{0} ^{\pi} \frac{| \sin(t + n \pi) |}{t + n \pi}\textrm{d}t\,\! .

On peut alors écrire : u_n \geq \frac{1}{(n+1)\pi}\int_{0} ^{\pi} \sin(t)\textrm{d}t\,\! = \frac{2}{(n+1) \pi} .

On en déduit : \forall N \in \mathbb{N} , \int_0^{N \pi}\frac{| \sin(x)|}{x}\,\textrm{d}x \,\!= \sum_{n=0} ^{N-1} u_n \geq \frac{2}{\pi} \sum_{n=1} ^N \frac{1}{n} , or cette série est la série harmonique, qui diverge.

La fonction f n'est donc pas intégrable sur \mathbb{R}_{+}^{*} .

  • Montrons maintenant que \lim_{X \to +\infty} \int_0^{X} f(x)\textrm{d}x \,\! existe.

On a \int_0^{X} f(x)\textrm{d}x\,\! = \int_0^{X} \frac{1}{x} \sin(x)\textrm{d}x\,\! .

Une intégration par parties, avec u(x) = \frac{1}{x} , v'(x)= \sin(x) , puis en prenant u'(x) = - \frac{1}{x^2} , v(x)=1- \cos(x) , permet d'écrire, pour a strictement supérieur à 0 :

\int_a^{X} f(x)\textrm{d}x\,\! = \left[ \frac{1- \cos(x)}{x} \right] _{a}^{X} + \int_{a}^{X} \frac{1- \cos(x)}{x^2} \textrm{d}x\,\! .
= \frac{1- \cos(X)}{X} - \frac{1- \cos(a)}{a} + \int_{a}^{X} \frac{1- \cos(x)}{x^2} \textrm{d}x\,\! .

De plus \int_0^{+ \infty} \frac{1- \cos(x)}{x^2} \textrm{d}x\,\! converge, car \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} et \forall x \geq 0 , \left| \frac{1- \cos(x)}{x^2} \right| \leq \frac{2}{x^2} .

Avec \lim_{X \to +\infty} \frac{1- \cos(X)}{X}=0 et \lim_{a\to 0} \frac{1- \cos(a)}{a}=0 , on en conclut que \lim_{X \to +\infty} \int_0^{X} f(x)\textrm{d}x\,\! existe (et est égale à \int_0^{+ \infty} \frac{1- \cos(x)}{x^2} \textrm{d}x\,\! .)

  • Dirichlet[1], dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier, mentionne en passant une preuve basée sur la règle de convergence des séries alternées : "On sait que \int_0^\infty \frac{\sin\gamma}{\gamma} \textrm{d}\gamma\,\! a une valeur finie et égale à π / 2. Cette intégrale peut être partagée en une infinité d'autres, prises la première depuis γ = 0 jusqu'à γ = π, la seconde depuis γ = π jusqu'à γ = 2π, et ainsi de suite. Ces nouvelles intégrales sont alternativement positives et négatives, chacune d'elles a une valeur numérique inférieure à celle de la précédente (...)."
  • Une preuve élégante a été publiée en 1858[2], aussi en passant, par le professeur allemand Ferdinand Minding qui dit l'avoir reçue plusieurs années avant d'un de ses auditeurs, S.N. Zwett. En traduisant textuellement, conservant la notation sin x2 alors en usage en Allemagne pour désigner (sin x)2: "On a
\textrm{d}\frac{\sin x^2}{x} = \frac{\sin 2x}{x} \textrm{d}x - \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2\,\textrm{d}x

d'où

\int_0^x \frac{\sin 2x}{x} \textrm{d}x\,\!=\,\! \int_0^x \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \textrm{d}x\,\! + \frac{\sin x^2}{x}

ou

\int_0^{2a} \frac{\sin x}{x} \textrm{d}x\,\!=\,\! \int_0^a \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \textrm{d}x\,\! + \frac{\sin a^2}{a}.

De cette remarque suit encore pour a=\infty, comme on l'a souvent trouvé,

\int_0^\infty \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \textrm{d}x\,\!=\,\!\frac{\pi}{2}. "

Calcul de l'intégrale

Avec des suites

  • Posons, pour x \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right] , la fonction g(x)= \frac{1}{x}- \frac{1}{\sin(x)} .

Comme on a en 0 : sin(x)∼x et \sin(x) - x \sim -\frac{x^3}{6} , on a donc, toujours en 0 : g(x) \sim -\frac{x}{6} .

La fonction g est donc continue sur \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right], et prolongeable par continuité en 0.

  • On considère maintenant la suite d'intégrales J_n = \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left ( ( 2n+1) x \right)}{\sin(x)} \textrm{d}x\,\! .

Comme \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left((2n+1)x \right)}{\sin(x)}=2n+1 , la suite \left( J_n \right)_{n \in \mathbb{N}} est bien définie.

De plus, remarquons que \forall n \in \mathbb{N} , \sin \left((2n+1) x \right) - \sin \left((2n-1) x \right) = 2 \sin(x) \cos(2nx) .

On en tire alors J_n - J_{n-1} = 2 \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \cos (2nx) \textrm{d}x\,\! = 0 .

La suite Jn est donc constante, et \forall n \in \mathbb{N} , J_n = J_0 = \frac{\pi}{2} .

  • On considère maintenant la suite d'intégrales K_n = \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left ( ( 2n+1) x \right)}{x} \textrm{d}x\,\! .

Comme \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left((2n+1)x \right)}{x}=2n+1 , la suite \left( K_n \right)_{n \in \mathbb{N}} est bien définie.

Le changement de variables t = (2n + 1)x donne K_n = \int_{0} ^{(2n+1) \frac{\pi}{2}} \frac{\sin (t)}{t} \textrm{d}t\,\! .

On en déduit alors \lim_{n \to +\infty} K_n = \int_{0} ^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \textrm{d}x\,\! .

  • On a : \forall n \in \mathbb{N} , K_n - J_n = \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}} g(x) \sin \left((2n+1) x \right) \textrm{d}x\,\! .

On a vu que la fonction g est continue sur \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right], donc par le lemme de Riemann-Lebesgue, \lim_{n \to +\infty} \left(K_n - J_n \right) = 0 .

On en conclut : \int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\textrm{d}x\,\! = \frac{\pi}{2} .

Avec le théorème des résidus

En remarquant que \int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\textrm{d}x \,\!= \frac{1}{2} \int_{-\infty} ^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\textrm{d}x\,\! =\frac{1}{2} Im \left(\int_{-\infty} ^{+\infty}\frac{\textrm{e}^{ix}}{x}\,\textrm{d}x\,\! \right ), et en considérant la fonction complexe f : z \mapsto \frac{\textrm{e}^{iz}}{z} , le théorème des résidus donne le résultat voulu. Il faut faire attention, au niveau du contour, à faire un petit détour autour de zéro car la fonction z \mapsto \frac{\textrm{e}^{iz}}{z} y possède un pôle.
Plus précisément, considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R>\epsilon>0, on choisit le demi-cercle \mathcal{C}_{R} de centre O, de rayon R situé dans le demi-plan supérieur, le demi-cercle \mathcal{C}_{\epsilon} de centre O, de rayon \epsilon situé dans le demi-plan inférieur et on les relie par deux segments I et J. Cette courbe délimite un domaine borné du plan contenant l'origine.

Contour Dirichlet.jpg

La fonction f admet en O un unique pôle de muliplicité 1. La formule des résidus donne alors

\int_{\mathcal{C}_{R}}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z\,\!+\int_{I\cup J}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z+\int_{\mathcal{C}_{\epsilon}}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z=2i\pi\;\;\;\;\;\;(1).


Le cercle \mathcal{C}_{R} se paramètre par \theta\mapsto R\textrm{e}^{i\theta} , pour θ variant entre 0 et π. On a alors \int_{\mathcal{C}_{R}}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z=i\int_{0}^{\pi}\exp(-R\sin\theta+iR\cos\theta)\textrm{d}\theta\,\! . Il s'ensuit que \bigg| \int_{\mathcal{C}_{R}}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z \bigg|\leq \bigg| \int_{0}^{\pi}\exp(-R\sin\theta)\textrm{d}\theta \bigg|\,\! . Cette dernière intégrale est une fonction décroissante de R ; elle admet donc une limite en +\infty . En appliquant par exemple le théorème de convergence dominée, il vient alors \lim\limits_{R\to+\infty}\int_{\mathcal{C}_{R}}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z=0\,\! .
De même, le cercle \mathcal{C}_{\epsilon} se paramètre par \theta\mapsto \epsilon \textrm{e}^{i\theta} , pour θ variant entre π et 2π. On a alors \int_{\mathcal{C}_{\epsilon}}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z=i\int_{0}^{\pi}\exp(-\epsilon\sin\theta+i\epsilon\cos\theta)\textrm{d}\theta\xrightarrow[\epsilon\to 0]{}i\pi\,\! .
En prenant la partie imaginaire de l'équation (1) puis en faisant tendre R vers +\infty et \epsilon vers 0, il vient alors \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\textrm{d}x=\pi\,\!.
On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction g : z\mapsto\frac{\textrm{e}^{iz}-1}{z} qui se prolonge en une fonction holomorphe en 0. On intègre alors sur le contour constitué du cercle \mathcal{C}_{R} et de l'intervalle [ − R,R]. Par le théorème de Cauchy, cette intégrale vaut 0. Mais d'autre part \int_{\mathcal{C}_{R}}\frac{\textrm{e}^{iz}-1}{z}\,\textrm{d}z\,\!=\int_{\mathcal{C}_{R}}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z-\int_{\mathcal{C}_{R}}\frac{\textrm{d}z}{z}=\int_{\mathcal{C}_{R}}\frac{\textrm{e}^{iz}}{z}\,\textrm{d}z-i\pi\xrightarrow[R\to+\infty]{}-i\pi\,\! . En prenant la partie imaginaire et en faisant tendre R vers +\infty, il vient à nouveau \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\textrm{d}x=\pi\,\! .

Avec une transformée de Laplace

Grâce à la transformée de Laplace, on peut calculer la valeur de l'intégrale de Dirichlet.

En effet, admettons que si \mathcal{L}^{-1}[F(p)]=\operatorname{f}(x), alors \mathcal{L}^{-1}\left[\int_p^{+\infty}F(u)\textrm{d}u\right]=\frac{\operatorname{f}(x)}{x}\,\!

Choisissons F(p)=\frac{1}{p^2+1} et \operatorname{f}(x)=\sin x


On sait de plus que \mathcal{L}(\sin x)=\frac{1}{p^2+1} d'où \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{p^2+1}\right)=\sin x

Or \int_p^{+\infty}\frac{\textrm{d}u}{u^2+1}=\left[\arctan u\right]_p^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\arctan p\,\!

La propriété admise donne alors \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\pi}{2}-\arctan p\right]=\frac{\sin x}{x}

En revenant à la définition de la transformation de Laplace, il vient \int_0^{+\infty}\textrm{e}^{-px}\times\frac{\sin x}{x}\textrm{d}x=\frac{\pi}{2}-\arctan p\,\!

En particulier, si p\to0 , on obtient \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\textrm{d}x=\frac{\pi}{2}\,\! .

Notons qu'une méthode pour démontrer la formule de transformée de Laplace inverse est d'utiliser la formule des résidus. La méthode de calcul direct est donc, de ce point de vue, préférable.

Notes et références

Notes

  1. ↑ Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données. J. Math. (Crelle) 4 (1829) p. 161.)
  2. ↑ Minding, F., Ueber den Werth des integrals \int_0^\infty \frac{\sin x^m}{x^n} \textrm{d}x\,\! wenn m und n positive ganze Zahlen sind und m>n oder m=n ist, Archiv der Math. und Phys. (1858) p. 177.)

Références

  • Nino Boccara, Fonctions analytiques [détail des éditions]

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Intégrale de Dirichlet de Wikipédia en français (auteurs)

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