- Intégrale De Dirichlet
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Intégrale de Dirichlet
L' intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs
Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire que la fonction n'est pas intégrable au sens généralisé de Riemann, mais existe.
Sommaire
Preuve
- On considère la fonction :
On a , donc f est prolongeable par continuité en 0.
Montrons que cette fonction n'est pas intégrable : on considère, pour tout , la suite : .
Le changement de variables t = x − nπ donne .
On peut alors écrire : .
On en déduit : , or cette série est la série harmonique, qui diverge.
La fonction f n'est donc pas intégrable sur .
- Montrons maintenant que existe.
On a .
Une intégration par parties, avec , puis en prenant , permet d'écrire, abusivement : .
L'abus vient du fait que n'est pas défini en 0. Cependant, comme on a en 0 : , on écrit : .
De plus, comme on a et , on en déduit donc que converge.
Avec , on en conclut que existe.
Calcul de l'intégrale de Dirichlet
Avec des suites
- Posons, pour , la fonction .
Comme on a en 0 : sin(x)˜x et , on a donc, toujours en 0 : .
La fonction g est donc continue sur sur , et prolongeable par continuité en 0.
- On considère maintenant la suite d'intégrales .
Comme , la suite est bien définie.
De plus, remarquons que .
On en tire alors .
La suite Jn est donc constante, et .
- On considère maintenant la suite d'intégrales .
Comme , la suite est bien définie.
Le changement de variables t = (2n + 1)x donne .
On en déduit alors .
- On a : .
On a vu que la fonction g est continue sur , donc par le lemme de Riemann-Lebesgue, .
On en conclut : .
Avec le théorème des résidus
En remarquant que , et en considérant la fonction complexe , le théorème des résidus donne le résultat voulu. Il faut faire attention, au niveau du contour, à faire un petit détour autour de zéro car la fonction y possède un pôle.
Plus précisément, considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε > 0, on choisit le demi-cercle de centre O, de rayon R situé dans le demi-plan supérieur, le demi-cercle de centre O, de rayon ε situé dans le demi-plan inférieur et on les relie par deux segments I et J. Cette courbe délimite un domaine borné du plan contenant l'origine.La fonction f admet en O un unique pôle de muliplicité 1. La formule des résidus donne alors
. Le cercle se paramètre par , pour θ variant entre 0 et π. On a alors . Il s'ensuit que . Cette dernière intégrale est une fonction décroissante de R ; elle admet donc une limite en . En appliquant par exemple le théorème de convergence dominée, il vient alors .
De même, le cercle se paramètre par , pour θ variant entre π et 2π. On a alors .
En prenant la partie imaginaire de l'équation (1) puis en faisant tendre R vers et ε vers 0, il vient alors .
On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction qui se prolonge en une fonction holomorphe en 0. On intègre alors sur le contour constitué du cercle et de l'intervalle [ − R,R]. Par le théorème de Cauchy, cette intégrale vaut 0. Mais d'autre part . En prenant la partie imaginaire et en faisant tendre R vers , il vient à nouveau .Avec une transformée de Laplace
Grâce à la transformée de Laplace, on peut calculer la valeur de l'intégrale de Dirichlet.
En effet, admettons que si , alors
Choisissons et
On sait de plus que d'oùOr
La propriété admise donne alors
En revenant à la définition de la transformation de Laplace, il vient
En particulier, si , on obtient .
Notons qu'une méthode pour démontrer la formule de tranformée de Laplace inverse est d'utiliser la formule des résidus. La méthode de calcul direct est donc, de ce point de vue, préférable.
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Catégorie : Intégrale
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