Intégrale d'Itô

Intégrale d'Itô

Intégrale d'Itō

L'intégrale d'Itō, appelée ainsi en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itō est un des outils fondamentaux du calcul stochastique.

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) B : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}\, ainsi que X : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R} un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à Bt, alors l'intégrale d'Itô

\int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} B_{t} : \Omega \to \mathbb{R}

est définie par la limite en moyenne quadratique de

\sum_{i = 0}^{k - 1} X_{t_{i}} \left( B_{t_{i+1}} - B_{t_{i}} \right)

lorsque le pas de la partition 0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = T de [0,T] tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

Propriétés

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par Y_{t}=\int_{0}^{t}{X_{s} \mathrm{d}B_{s}}, est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: E(Y_{t}^{2})=\int_{0}^{t}{E(X_{s}^{2}) \mathrm{d}s}. Noter que cette dernière intégrale est "classique", i.e. est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.

Voir aussi

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