Integrale de Stieltjes

Integrale de Stieltjes

Intégrale de Stieltjes

Thomas Stieltjes (1856–1894)

L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a,b], ainsi qu'une subdivision a = x0 < x1 < x2 < ... < xn − 1 < xn = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i )\bigl(g(x_{i+1})-g(x_i)\bigr),

avec ξi ∈ [xi, xi+1], tend vers un nombre fixe S lorsque max(xi+1 – xi) tend vers 0, alors S est appelé l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction f par rapport à g, et on la dénote par

\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}g(x)

ou, simplement, par

\int_a^b f\,\mathrm{d}g.

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas. Cependant, si f est continue et g' = dg / dx possède une intégrale de Riemann sur l'intervalle considéré, alors

\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}g(x)=\int_a^bf(x)g'(x)\,\mathrm{d}x.

Plus généralement, si f est continue et g à variations bornées, cette intégrale est bien définie.

Voir aussi

Œuvres

  • Recherches sur les fractions continues, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 8, No. 4, J1–J122, 1894.

Bibliographie

  • (en) H. Jeffreys & B.S. Jeffreys (1988). Integration: Riemann, Stieltjes, §1.10 Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge University Press, Cambridge, pp. 26–36. (ISBN 0-52166402-0).
  • (en) H. Kestelman (1960). Riemann-Stieltjes Integration, Modern Theories of Integration, Dover Publications, New York. Chap. 11, pp. 247–269.
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