Variations bornées
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Fonction à variation bornée
En analyse, une fonction est dite à variation bornée quand elle vérifie une certaine condition de régularité. Cette condition a été introduite en 1881 par le mathématicien Camille Jordan pour étendre le Théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.
Définition
Soit f une fonction définie sur le compact [a,b] à valeur dans .
Pour chaque subdivision , on définit V(f,σ) par :
.
On appelle variation totale de f la valeur définie par :
On dit que f est à variation bornée si est fini.
Plus généralement, une fonction définie sur un intervalle quelconque est à variation bornée si est fini quels que soient x et y dans l'intervalle.
Propriétés
- Les fonctions à variation bornée forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de [a,b] dans .
- Toute fonction de classe est à variation bornée, toute fonction monotone également.
- Toute fonction à variation bornée est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.
- Toute fonction à variation bornée est différence de deux fonctions croissantes. A fortiori, l'espace vectoriel des fonctions à variation bornée est engendré par l'ensemble des fonctions croissantes ; on en déduit également que les fonctions à variation bornée ont au plus une infinité dénombrable de points de discontinuité et sont dérivables presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue).
- Si f est intégrable au sens de Lebesgue sur un intervalle I, alors, pour a fixé dans I la fonction est à variation bornée. En effet,
Voir aussi
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Catégorie : Analyse réelle
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