Intégrale de Riemann-Stieltjes

Intégrale de Riemann-Stieltjes

Intégrale de Stieltjes

Thomas Stieltjes (1856–1894)

L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a,b], ainsi qu'une subdivision a = x0 < x1 < x2 < ... < xn − 1 < xn = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i )\bigl(g(x_{i+1})-g(x_i)\bigr),

avec ξi ∈ [xi, xi+1], tend vers un nombre fixe S lorsque max(xi+1 – xi) tend vers 0, alors S est appelé l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction f par rapport à g, et on la dénote par

\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}g(x)

ou, simplement, par

\int_a^b f\,\mathrm{d}g.

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas. Cependant, si f est continue et g' = dg / dx possède une intégrale de Riemann sur l'intervalle considéré, alors

\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}g(x)=\int_a^bf(x)g'(x)\,\mathrm{d}x.

Plus généralement, si f est continue et g à variations bornées, cette intégrale est bien définie.

Voir aussi

Œuvres

  • Recherches sur les fractions continues, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 8, No. 4, J1–J122, 1894.

Bibliographie

  • (en) H. Jeffreys & B.S. Jeffreys (1988). Integration: Riemann, Stieltjes, §1.10 Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge University Press, Cambridge, pp. 26–36. (ISBN 0-52166402-0).
  • (en) H. Kestelman (1960). Riemann-Stieltjes Integration, Modern Theories of Integration, Dover Publications, New York. Chap. 11, pp. 247–269.
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