Identité d'Euler

Identité d'Euler

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation mathématique, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler.

e^{i \pi} + 1 = 0\;

où \ e est la base du logarithme népérien, \ i est l'unité des imaginaires purs (vérifiant \ i^2=-1) et \ \pi est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe : pour tout nombre réel \ x, \ e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!, qui est vrai en particulier pour \ x = \pi (or \ \cos(\pi) = -1 et \ \sin(\pi) = 0).

Démonstration

  • EulerIdentity2.png
  • EulerIdentity2b.png

  • Juxtaposition de 8 triangles rectangles

  • Juxtaposition de 16 triangles rectangles

  • Illustration du résultat

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

\forall z\,\in\mathbb{C} \quad e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n

Or les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées \left(1 + \dfrac{i\pi}{N}\right)^N est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.

Notes et références

Voir aussi

v · Nombre e
Applications Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle · Décroissance exponentielle
Définitions Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème d'Hermite-Lindemann
Personnes John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Identité d'Euler de Wikipédia en français (auteurs)

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