Groupe de klein
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Groupe de Klein
En mathématiques, le groupe de Klein (ou Vierergruppe), du nom de Felix Klein, est le plus petit groupe non cyclique.
Définition
Il a quatre éléments, et tous sauf l'élément neutre ont un ordre égal à 2.
Propriétés
- C'est un groupe abélien, et il est isomorphe à
, produit direct du groupe cyclique d'ordre 2 par lui-même.
- Il est aussi isomorphe au groupe diédral D2={e,c,b,bc} d'ordre 4.
- Le groupe de Klein est souvent symbolisé par la lettre V (pour Vierergruppe).
- Si on note V = { 0 , e , f , g } le groupe de Klein avec une loi additive « + » , alors cette loi présente la table d'opération suivante :
| + |
0 |
e |
f |
g |
| 0 |
0 |
e |
f |
g |
| e |
e |
0 |
g |
f |
| f |
f |
g |
0 |
e |
| g |
g |
f |
e |
0 |
- On constate que la loi du groupe de Klein est involutive : ∀ x ∈ V , x + x = 0
- Le groupe de Klein peut être muni d'une structure de corps, le corps fini à quatre éléments, par l'ajout d'une seconde loi multiplicative, d'élément nul 0, d'élément neutre e, distributive par rapport à la loi additive et dont la table est :
| x |
0 |
e |
f |
g |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| e |
0 |
e |
f |
g |
| f |
0 |
f |
g |
e |
| g |
0 |
g |
e |
f |
- On peut enfin considérer le groupe de Klein en termes de groupe d'automorphismes de graphe dont le graphe est :
* *
| |
* *
|
*
Application en ethnologie
Dans les structures élémentaires de la parenté l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe de Klein [1].
Notes
- ↑ Paul Jolissaint Notes de lecture : Groupes et ethnologie
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