Formule de Stirling

Pour les articles homonymes, voir Stirling.

La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l'infini réel (quand n tend vers l'infini) :

$\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left({n}/{\rm e}\right)^{n} } = 1$

que l'on trouve souvent écrite ainsi :

$n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n$

Version continue

La formule précédente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler :

$\Gamma(z) \sim z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi}, \quad |\arg(z)| < \pi$

Histoire

La formule a d'abord été découverte par Abraham de Moivre^[1] sous la forme

$n\,!\sim C\; n^{n+1/2}\, \mathrm{e}^{-n}$ ,

où $\scriptstyle\ C\$ est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling^[2] fut d'attribuer la valeur $\scriptstyle\ C = \sqrt{2\pi}\$ à la constante et de donner un développement de $\scriptstyle\ \ln(n!)\$ à tout ordre. La démonstration classique de la formule asymptotique est donnée dans l'article sur les intégrales de Wallis.

Démonstration du résultat de De Moivre

La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de Moivre. En effet, en posant $u_n=\frac{n^n\, \mathrm{e}^{-n} \sqrt{n}}{n\,!}$ , il suffit de montrer que la suite $(u n)$ converge, et que sa limite est non nulle. Or $(u n)$ étant à termes strictement positifs pour $n\geq 1$ , on peut définir :

$v_n= \ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right) = \ln \left( \frac{(n+1)^n\, \mathrm{e}^{-1} \sqrt{n+1}}{n^n \sqrt{n}} \right) = \left( n+\frac{1}{2} \right) \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) -1$

de telle sorte qu'en utilisant le développement limité de $ln(1 + x)$ en 0 à l'ordre 3, on obtient :

$v_n = \left(n+ \frac{1}{2}\right)\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^4}\right) \right] -1 = 1-\frac{1}{2n}+ \frac{1}{3n^2}+ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)+\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^4}\right)-1 = \frac{1}{12n^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)$

On en déduit que $\sum v_n$ est une série absolument convergente, donc en écrivant $v n$ sous la forme : $v n = ln(u n + 1) - ln(u n)$ , on trouve que la suite $(ln(u n))$ converge (vers une limite que nous notons L), donc la suite $(u n)$ aussi, et vers la limite non nulle $exp (L)$ , ce qu'on voulait démontrer.

Pour introduire le facteur de De Moivre, une autre manière de présenter est la suivante : la formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction $ln$ entre 1 et n donne

$\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k = \int_{1}^n \ln (x) \mathrm{d}x + \frac12 \ln 1 + \frac12 \ln n +o(n) = n\ln(n) - n +1 + \frac 12 \ln(n) +o(n)$ .

On prend alors l'exponentielle et cela donne l'idée du calcul ci-dessus.

On peut même introduire le facteur $\sqrt 2 π$ par la méthode de la descente rapide. Cette méthode est assez puissante et en l'appliquant, on « comprend » l'apparition du $\sqrt 2 π$ et on trouve immédiatement le résultat de Stirling.

Généralisation

On peut expliciter l'approximation de Stirling en utilisant le développement asymptotique de la fonction gamma Γ ; on trouve :

$n\,! = \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} + \frac {163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^6} \right) \right]$

En fait, la formule d'Euler-Maclaurin fournit en toute généralité.

$(*)\quad \ln \left[n!\right] =n\ln(n)-n + \dfrac12\ln(2\pi n)+\sum_{k=1}^K\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}+\mathcal{O} \left(\frac1{n^{2K+1}}\right)$

pour tout entier fixé $K\geqslant 1$ , où les nombres $B 2 k$ sont les nombres de Bernoulli. Il est à noter que la somme ci-dessus ne tend pas vers une limite finie lorsque $K\to\infty$ .

Écrite sous la forme

$n ! = \left(\frac{n}{\rm e}\right)^n\sqrt{2\pi n} \,{\rm e}^{\mu(n)},$

on trouve la formule (et la fonction) de Binet (suites A001163 et A001164 de l'OEIS).

Calculs numériques

Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n

$n \;$	$n! \;$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12\ n}\right)$
1	1	0,93	0,999
2	2	1,92	1,999
3	6	5,84	5,998
4	24	23,51	23,996
5	120	118,02	119,99
6	720	710,08	719,94
7	5 040	4 980,4	5 039,7
8	40 320	39 902,4	40 318,1
9	362 880	359 536,9	362 866,0
10	3 628 800	3,598 696 x $106$	3,628 685 x $106$
15	1 307 674 368 000	1,300 431 x $1012$	1,307 665 x $1012$
20	2 432 902 008 176 640 000	2,422 787 x $1018$	2,432 882 x $1018$
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000	1,545 959 x $1025$	1,551 113 x $1025$
30	265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000	2,645 171 x $1032$	2,652 519 x $1032$
40	815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000	8,142 173 x $1047$	8,159 136 x $1047$

Dans $\sqrt n$ , si on remplace n par n+¹⁄₆ les calculs sont nettement améliorés, pour les petites valeurs de n (approximation de Gosper); on peut aussi préférer un encadrement : cf (en) Eric W. Weisstein, « Stirling's Approximation », MathWorld ; enfin on peut prendre la suite A055775 de l’OEIS.

Approximation logarithmique

Comparaison des approximations logarithmiques de la formule de Stirling.

Dans le cadre de la thermodynamique statistique (distribution de Boltzmann) il est commode de considérer le logarithme népérien d'une factorielle en faisant l'approximation de Stirling^[3]. L'approximation consiste à assimiler la somme à une intégrale quand n est suffisamment grand^[4].

$\ln\left(n!\right) = \sum_{i=1}^n{\ln\left(i\right)} \simeq \int_1^n{\ln\left(x\right)\, \mathrm dx} = \left[ x\cdot\ln\left(x\right) - x \right]_1^n = n\cdot\ln\left(n\right) - n + 1.$

Nous obtenons finalement l'approximation suivante :

$\ln\left(n!\right) \simeq n\cdot\ln\left(n\right) - n,$

pour laquelle l'erreur relative est inférieure à 1 % quand n>100. Cette approximation est considérée comme valable (l'erreur est négligeable) dans le cadre de la distribution de Boltzmann étant donné les grandes valeurs de n utilisées (représentant les configurations microscopiques d'un état macroscopique).

Une approximation bien plus précise de $ln(n!)$ a été donnée par Ramanujan^[5] :

$\ln(n!)=n\ln(n) - n + \frac {\ln(8n^3+4n^2+n+1/30+o(1))}6+ \frac {\ln(\pi)}2.$

Notes et références

↑ à l'occasion de sa démonstration du théorème central limite dans le cas particulier de la loi binomiale.
↑ (la) Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum (1730), proposition 28, p.135
↑ Atkins, Chimie Physique, 3^e éd., deBoeck, Bruxelles, 2008
↑ Jannès, Chimie Physique : Distribution de Boltzmann, HELdB IMC, Bruxelles, 2010
↑ (en) M. Trott, The Mathematica guidebook for symbolics, Birkhäuser, 2006 (ISBN 978-0-38795020-4) , p. 359

Portail de l'analyse

Catégories :

Analyse réelle
Théorème d'analyse

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Formule de Stirling de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Formule De Stirling — Pour les articles homonymes, voir Stirling. La formule de Stirling, du nom du mathématicien James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l infini réel (quand n tend vers l infini) : que l on trouve souvent … Wikipédia en Français
Formule de stirling — Pour les articles homonymes, voir Stirling. La formule de Stirling, du nom du mathématicien James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l infini réel (quand n tend vers l infini) : que l on trouve souvent … Wikipédia en Français
formule de Stirling — Stirlingo formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Stirling formula vok. Stirlingsche Formel, f rus. формула Стирлинга, f pranc. formule de Stirling, f … Fizikos terminų žodynas
STIRLING (J., 1692-1770) — STIRLING JAMES (1692 1770) Mathématicien anglais, né à Gardon (Stirling) et mort à Édimbourg, qui fit faire d’importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d’Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier … Encyclopédie Universelle
Stirling — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Toponyme Stirling, ville d Écosse où se déroula la bataille du pont de Stirling ; Chaîne de Stirling, des montagnes d Australie. Patronyme David… … Wikipédia en Français
Stirling formula — Stirlingo formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Stirling formula vok. Stirlingsche Formel, f rus. формула Стирлинга, f pranc. formule de Stirling, f … Fizikos terminų žodynas
Formule d'Euler-Maclaurin — En mathématiques, la formule d Euler Maclaurin (appelée parfois formule sommatoire d Euler) est une relation entre sommes discrètes et intégrales. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de 1735, par le mathématicien suisse Leonhard… … Wikipédia en Français
Formule un — Formule 1 Pour les articles homonymes, voir F1 (homonymie). Formule 1 … Wikipédia en Français
Stirling Moss — Pour les articles homonymes, voir Moss. Stirling Moss Stirling Moss en 2008 Années d activité 1948 1962 … Wikipédia en Français
Formule 1 — Pour les articles homonymes, voir F1. Formule 1 Généralit … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Formule de Stirling

Sommaire

Version continue

Histoire

Généralisation

Calculs numériques

Approximation logarithmique

Notes et références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Formule de Stirling

Sommaire

Version continue

Histoire

Généralisation

Calculs numériques

Approximation logarithmique

Notes et références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link