Formule de Stirling

Formule de Stirling
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La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l'infini réel (quand n tend vers l'infini) :

\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left({n}/{\rm e}\right)^{n} } = 1

que l'on trouve souvent écrite ainsi :

n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n

Sommaire

Version continue

La formule précédente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler :

\Gamma(z) \sim z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi}, \quad |\arg(z)| < \pi

Histoire

La formule a d'abord été découverte par Abraham de Moivre[1] sous la forme

n\,!\sim C\; n^{n+1/2}\, \mathrm{e}^{-n},

\scriptstyle\ C\ est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling[2] fut d'attribuer la valeur \scriptstyle\ C = \sqrt{2\pi}\ à la constante et de donner un développement de \scriptstyle\ \ln(n!)\ à tout ordre. La démonstration classique de la formule asymptotique est donnée dans l'article sur les intégrales de Wallis.

Généralisation

On peut expliciter l'approximation de Stirling en utilisant le développement asymptotique de la fonction gamma Γ ; on trouve :

n\,! = \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} + \frac {163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^6} \right) \right]

En fait, la formule d'Euler-Maclaurin fournit en toute généralité.

(*)\quad \ln \left[n!\right] =n\ln(n)-n + \dfrac12\ln(2\pi n)+\sum_{k=1}^K\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}+\mathcal{O} \left(\frac1{n^{2K+1}}\right)

pour tout entier fixé   K\geqslant 1, où les nombres B2k sont les nombres de Bernoulli. Il est à noter que la somme ci-dessus ne tend pas vers une limite finie lorsque  K\to\infty.

Écrite sous la forme

 n ! = \left(\frac{n}{\rm e}\right)^n\sqrt{2\pi n} \,{\rm e}^{\mu(n)},

on trouve la formule (et la fonction) de Binet (suites A001163 et A001164 de l'OEIS).

Calculs numériques

Approximation logarithmique

Comparaison des approximations logarithmiques de la formule de Stirling.

Dans le cadre de la thermodynamique statistique (distribution de Boltzmann) il est commode de considérer le logarithme népérien d'une factorielle en faisant l'approximation de Stirling[3]. L'approximation consiste à assimiler la somme à une intégrale quand n est suffisamment grand[4].

 \ln\left(n!\right) = \sum_{i=1}^n{\ln\left(i\right)} \simeq \int_1^n{\ln\left(x\right)\, \mathrm dx} = \left[ x\cdot\ln\left(x\right) - x \right]_1^n = n\cdot\ln\left(n\right) - n + 1.

Nous obtenons finalement l'approximation suivante :

\ln\left(n!\right) \simeq n\cdot\ln\left(n\right) - n,

pour laquelle l'erreur relative est inférieure à 1 % quand n>100. Cette approximation est considérée comme valable (l'erreur est négligeable) dans le cadre de la distribution de Boltzmann étant donné les grandes valeurs de n utilisées (représentant les configurations microscopiques d'un état macroscopique).

Une approximation bien plus précise de ln(n!) a été donnée par Ramanujan[5] :


\ln(n!)=n\ln(n) - n + \frac {\ln(8n^3+4n^2+n+1/30+o(1))}6+ \frac {\ln(\pi)}2.

Notes et références

  1. à l'occasion de sa démonstration du théorème central limite dans le cas particulier de la loi binomiale.
  2. (la) Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum (1730), proposition 28, p.135
  3. Atkins, Chimie Physique, 3e éd., deBoeck, Bruxelles, 2008
  4. Jannès, Chimie Physique : Distribution de Boltzmann, HELdB IMC, Bruxelles, 2010
  5. (en) M. Trott, The Mathematica guidebook for symbolics, Birkhäuser, 2006 (ISBN 978-0-38795020-4) , p. 359



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