- Formule de Leibniz
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Pour les articles homonymes, voir Règle de Leibniz.En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d'après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz :
- En analyse réelle, la formule de Leibniz est la formule donnant les dérivées successives d'un produit de fonctions réelles d'une variable réelle. La formule de Leibniz désigne aussi une formule plus générale du calcul différentiel donnant la différentielle du produit de deux fonctions différentiables à valeurs dans une algèbre normée.
- Par extension, la formule de Leibniz, aussi appelée identité de Leibniz, désigne une identité qui définit la notion de dérivation, à savoir: d(ab) = d(a)b + ad(b).
- En algèbre linéaire, la formule de Leibniz fournit une définition du déterminant d'une matrice comme une somme alternée sur ses serpents.
- Enfin, la formule de Leibniz désigne aussi la somme de la série alternée des inverses des entiers impairs.
Sommaire
Dérivée d'un produit
Articles détaillés : Dérivée et Règle du produit.Le produit de deux fonctions d'une variable réelle f et g définies et dérivables jusqu'à l'ordre n sur un intervalle I est dérivable jusqu'à l'ordre n. La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre n donnée par :
où les nombres entiers
sont les coefficients binomiaux.Cette formule se démontre par récurrence sur l'entier n. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs en être déduite.
En choisissant par exemple f = exp(ax) et g = exp(bx) on a
.DémonstrationProcédons par récurrence sur n.
Pour n = 1 la formule est vraie car
qui est vrai selon la dérivée d'un produit de fonctions dérivables.
Supposons la formule vraie au rang n, alors :
![\begin{align}
(fg)^{(n+1)} &= \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} \right)' \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k+1)} g^{(n-k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k+1)} &\mathrm{(r\grave{e}gles \ de \ d\acute{e}rivation)}\\
&= \sum_{l=1}^{n+1} \binom{n}{l-1} f^{(l)} g^{(n+1-l)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)} &\mathrm{(changement \ d'indice)}\\
&= \sum_{l=1}^{n} \binom{n}{l-1} f^{(l)} g^{(n+1-l)} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)} + \binom{n}{0} f^{(0)} g^{(n+1)} + \binom{n}{n} f^{(n+1)} g^{(0)} \\
&= \sum_{k=1}^{n} \left[ \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right] f^{(k)} g^{(n+1-k)}+ f^{(0)} g^{(n+1)} + f^{(n+1)} g^{(0)} \\
&= \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)} + f^{(0)} g^{(n+1)} + f^{(n+1)} g^{(0)} &\left(\text{car} \ \tbinom{n}{k-1} + \tbinom{n}{k}=\tbinom{n+1}{k}\right) \\
(fg)^{(n+1)} &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)} &\mathrm{(rajout \ des \ termes \ }k=0 \text{ et } k=n+1\text{)} \\
\end{align}](8/3889db7243357ff22206aebb72cbb814.png)
La formule est donc vraie pour n + 1. Par récurrence, elle est vraie pour tout n.
Note : on peut aussi démontrer la formule de Leibniz en utilisant un développement de Taylor sans reste intégral.
Série alternée
La formule de Leibniz est un exemple de série alternée :
Elle a été découverte en Occident au XVIIe[1] [2], mais apparaît déjà chez Madhava, mathématicien indien de la province du Kerala, vers 1400[3]. Les travaux mathématiques indiens de cette période ne seront connus en Occident qu'à la fin du XIXe siècle, pendant la colonisation de l'Inde par la Grande-Bretagne.
DémonstrationPour | x | < 1, considérons la série géométrique infinie
C'est la limite de
En écrivant que
on obtient, en intégrant de chaque côté entre 0 et 1,
Dans le membre de droite, l'intégrale de Gn(x) donne la somme partielle de la série recherchée et l'autre intégrale converge vers 0 quand n tend vers l'infini, puisque
Le membre de gauche,
vaut arctan(1) − arctan(0) = π⁄4, on a donc
Déterminant d'une matrice carrée
Le déterminant d'une matrice carrée A = (aij) d’ordre n est le nombre noté det(A) égal à :
où Sn est l’ensemble des permutations de {1,2,...,n} et pour une permutation σ de Sn,
désigne sa signature, égale à 1 si la permutation est paire et -1 si la permutation est impaire.Notes et références
- Leibniz, De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa, Acta Eruditorum, février 1682
- Marc Parmentier, La naissance du calcul différentiel, Vrin (1989), p.61-81
- L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi, a source book, Springer (1997) : Madhava, the power series for arctan and pi (~1400), p.45-50
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