Polynome de Bernoulli

Polynôme de Bernoulli

En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction Zeta de Riemann.

Sommaire

1 Définition
2 Fonctions génératrices
3 Les nombres d'Euler et de Bernoulli
4 Expressions explicites pour les petits ordres
5 Propriétés des polynômes de Bernoulli
6 Valeurs particulières
7 Série de Fourier
8 Références

Définition

Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes $\left( B_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que :

$B 0 = 1$
$\forall n \in \mathbb{N} , B'_{n+1} = (n+1)B_n$
$\forall n \in \mathbb{N^*} , \int_0 ^1 B_n (x) dx = 0$

Fonctions génératrices

La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\,$ .

La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est

$\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}\,$ .

Les nombres d'Euler et de Bernoulli

Les nombres de Bernoulli sont donnés par $B_n=B_n(0)\,$ .

Les nombres d'Euler sont donnés par $E_n=2^nE_n(1/2)\,$ .

Expressions explicites pour les petits ordres

Les quelques premiers polynômes de Bernoulli sont :

$B_0(x)=1\,$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2}\,$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}\,$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\,$

Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :

$E_0(x)=1\,$

$E_1(x)=x-1/2\,$

$E_2(x)=x^2-x\,$

$E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}\,$

$E_4(x)=x^4-2x^3+x\,$

$E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2}\,$

$E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x\,$

Propriétés des polynômes de Bernoulli

Différences

Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul symbolique utilisé par Édouard Lucas, par exemple.

$B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\,$

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^{n}\,$

Dérivées

$B_n'(x)=nB_{n-1}(x)\,$

$E_n'(x)=nE_{n-1}(x)\,$

Translations

$B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}\,$

$E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}\,$

Symétries

$B_n(1-x)=(-1)^n B_n(x)\,$

$E_n(1-x)=(-1)^n E_n(x)\,$

$(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}\,$

$(-1)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n\,$

Autres propriétés

$\forall n \in \mathbb{N}, B_n (x) =2^{n-1} \left( B_n \left( \frac{x}{2} \right) + B_n \left( \frac{x+1}{2} \right) \right)$

$\forall p \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=1}^n k^p = \frac{B_{p+1}(n+1) - B_{p+1}(0)}{p+1}$

Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : $\int_x ^{x+1} B_n(t) dt = x^n$

Valeurs particulières

$\forall n > 1, B_n (0) =B_n (1)$

$\forall p \in \mathbb{N}^{*}, B_{2p+1} (0) = B_{2p+1}(1)=0$

$\forall p \in \mathbb{N}^{*}, B_{2p} \left( \frac {1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2^{2p-1}} -1 \right)B_{2p} (0) , B_{2p+1} \left( \frac {1}{2} \right)=0$

Série de Fourier

La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet et est un cas particulier de la fonction zeta d'Hurwitz

$B_n(x) = -\Gamma(n+1) \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{(2\pi ikx)}+ e^{(2\pi ik(1-x))}}{(2\pi ik)^n}\,$

Références

M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (See Chapter 23.); wiki: Abramowitz and Stegun.

Tom M. Apostol Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. (See Chapter 12.11)

Linas Vepstas, The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta

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