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Polynôme de Bernoulli
En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction Zeta de Riemann.
Sommaire
Définition
Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que :
- B0 = 1
Fonctions génératrices
La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est
- .
La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est
- .
Les nombres d'Euler et de Bernoulli
Les nombres de Bernoulli sont donnés par .
Les nombres d'Euler sont donnés par .
Expressions explicites pour les petits ordres
Les quelques premiers polynômes de Bernoulli sont :
Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :
Propriétés des polynômes de Bernoulli
Différences
Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul symbolique utilisé par Édouard Lucas, par exemple.
Dérivées
Translations
Symétries
Autres propriétés
Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité :
Valeurs particulières
- 1, B_n (0) =B_n (1) " style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/101/ef83758447cfd37126c482f244bdf182.png" border="0">
Série de Fourier
La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet et est un cas particulier de la fonction zeta d'Hurwitz
Références
- M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (See Chapter 23.); wiki: Abramowitz and Stegun.
- Tom M. Apostol Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. (See Chapter 12.11)
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