Methode de Romberg

Methode de Romberg

Méthode de Romberg

En analyse numérique, la méthode d'intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d'intégrale, basée sur l'application du procédé d'extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d'accélération permet d'améliorer l'ordre de convergence de la méthode des trapèzes, en appliquant cette dernière à des divisions dyadiques successives de l'intervalle d'étude et en en formant une combinaison judicieuse.

Sommaire

Principe

On souhaite calculer l'intégrale I = \int_a^b f(x) \, dx d'une fonction f, continue sur [a,b]. On subdivise alors [a,b] en n sous-intervalles identiques (n pair, n = 2p par exemple), du type [a + kh,a + (k + 1)h] pour k = 0,...,n − 1 et h = (b − a) / n. Sur cette grille régulière, est définie la méthode des trapèzes, notée T(h):

T(h) = \frac{h}{2} \left[\sum_{k=0}^{n} \omega_k f(a + k h)\right]

où les pondérations ωk sont égales à 1 pour les points extrêmes, et à 2 pour les autres. Alors, l'erreur commise, notée E = I-T(h)\,, vérifie

E(h) = c_1 h^2 + c_2 h^4 + c_3 h^6 \cdots

Cette relation exprime le fait que la méthode du trapèze présente une erreur proportionnelle à h2; on dit qu'elle est d'ordre O(h2).

Des manipulations algébriques fournissent une approximation de I d'ordre O(h4). Il suffit pour ce faire d'éliminer le terme en h2 dans le développement de l'erreur. On y parvient en considérant plutôt la quantité [4 T(h) – T(2h)]/3, qui n'est rien d'autre que la méthode de Simpson. Le même procédé peut être reconduit, afin d'annuler les termes en h^4, h^8, \ldots qui correspondent à des approximations de I de plus en plus précises.

Algorithme

Nous allons formaliser la technique précédente de réduction de l'erreur. On note par R(k,h) l'approximation de I à la k ème étape, avec une grille de pas h. On passe alors de l'étape k à l'étape k+1 en posant

R(k+1,h) = \frac{1}{4^{k+1}-1} \times \left[ 4^{k+1}R(k,h)-R(k,2h) \right]


On initialise l'algorithme avec la méthode du trapèze; autrement dit, R(0,h) = T(h). On montre par récurrence que l'approximation à la k ème étape, R(k,h), fournit une approximation de I qui est O(h2k + 2).

L'algorithme peut être représenté sous la forme d'un tableau; afin de faciliter cette représentation, il est commode de remplacer le terme h = (b − a) / 2p par p directement. La première diagonale, notée R(k), correspond aux approximations successives, tandis que la première colonne représente la méthode du trapèze, la seconde la méthode de Simpson, etc. On se déplace à l'intérieur du tableau à l'aide de la formule de récurrence précédente. En pratique, pour obtenir une approximation de I au niveau ε > 0, on se fixe comme critère d'arrêt que la valeur absolue entre deux approximations successives est plus petite que ε. Ceci implique généralement que | R(k + 1) − I | < ε.

Exemple

A intégrer f(t) = 2/(1 + 4t^2)\, sur [-1,2]. On trouve I = \arctan(4)+\arctan(2) \simeq 2,432966381462123. La matrice de l'algorithme est


 k=0 1 2 3 4
p=0 0,7764705882



1 1,8882352941 2,2588235294


2 2,3510141988 2,5052738337 2,5217038540

3 2,4235526286 2,4477321053 2,4438959900 2,4426609446
4 2,4307735880 2,4331805744 2,4322104723 2,4320249879 2,4319832783

d'où l'on tire les approximations consécutives

k R(k)
0 0,77647058823529
1 2,25882352941176
2 2,52170385395538
3 2,44266094457555
4 2,43198327829659

Voir aussi

Lien externe

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