Calcul d'une poutre au flambage

Calcul d'une poutre au flambage

Flambage

Le flambage ou flambement est un phénomène d'instabilité d'un matériau, qui soumis à une force de compression, a tendance à fléchir et à se déformer dans une direction perpendiculaire à la force de compression.

Le terme flambement est plutôt utilisé en Génie civil.

Sommaire

Résistance des matériaux

Exemple d'une règle plate:

  • Si les extrémités de la règle sont tenues et tirées, la rupture de la règle se produit quand les contraintes de traction deviennent supérieures à la résistance mécanique en traction du plastique.
  • En revanche, si les extrémités de la règle sont tenues et comprimées dans le sens de la longueur, la règle va se plier et se briser avec un effort de compression bien plus faible que celui nécessaire à la rupture en traction.

Ce phénomène est appelé flambage.

En RDM ( Résistance Des Matériaux ), le flambage est un phénomène d'instabilité élastique mis en évidence lorsqu'une poutre est comprimée, il se développe un moment parasite amplifié par les déformations et déplacements de la poutre chargée.

Ce phénomène n'est pas mis en évidence par le modèle RDM classique ou théorie des poutres car ce modèle considère que les efforts de calcul s'appliquent sur la structure non déformée et non sur la structure en charge et déformée (hypothèses de linéarisation externe et des petits déplacements de la mécanique des solides et de la RDM).

Le flambage se produit d'autant plus facilement que la poutre est longue et de faible section. Le flambage dépend aussi du type de liaisons des extrémités de la poutre.

Même si le terme poutre est employé ici, l'hypothèse RDM des petits déplacements doit être abandonnée pour que le modèle soit plus réaliste. Le modèle RDM doit être complété avec les hypothèses supplémentaires que les déformations restent petites mais que les déplacements peuvent être grands, cela permet de prendre en compte les phénomènes du second ordre négligés dans le modèle RDM.

Ce modèle RDM complété n'est plus linéaire, la résolution se fait par itérations successives jusqu'à convergence éventuelle du résultat. Ce modèle met en évidence des instabilités dont la charge critique d'Euler est un exemple simple.

La démonstration de la formule d'Euler est relativement complexe et sort du cadre de cet article. Comme cette formule ne fait intervenir que des termes issus du modèle RDM élastique linéaire (module de Young et géométrie de la poutre), on dit alors que le flambement est un phénomène d'instabilité élastique. En général le flambement élastique n'est que le début d'un comportement non linéaire bien plus complexe qui une fois amorcé conduit à des déformations plastiques dans le matériau puis à la ruine de la poutre.

Pour une poutre d'inertie constante soumise à un effort normal de compression simple, la charge critique à partir de laquelle il y a risque de rupture par flambage est calculée par la formule d'Euler:

F=\frac{\pi^2 E I}{l_k^2}

où


Une expérience de démonstration des modes de flambage d'Euler. Cette expérience montre comment les conditions limites (rotule, encastrée, libre) influent la charge critique d'une poutre fine (dans cette expérience, toutes les poutres sont identiques à leurs conditions aux limites près)

Le facteur lk représente une longueur équivalente à celle d'une poutre rotulée-rotulée. Il s'agit de la distance séparant deux points d'inflexions de la poutre. Ainsi,

  • pour une poutre rotulée aux deux bouts, l_k = 1 \times L , la longueur de la poutre ;
  • pour une poutre encastrée - encastrée mobile (selon l'axe vertical), l_k = 0,5 \times L ;
  • pour une poutre encastrée-rotulée, l_k = 0,7 \times L ;
  • pour une poutre encastrée-libre, l_k = 2 \times L.

Attention: Le flambage est un phénomène d'instabilité élastique lié au module de Young et indépendant de la limite élastique, utiliser un acier de limite élastique supérieure pour diminuer le flambage est une erreur grave.

Calcul pratique pour des matériaux homogènes

Ce problème est sérieusement considéré dans les cas du dimensionnement de poteaux ou de piliers et de bielles en mécanique, éléments nécessairement de grande longueur et soumis à la compression.

En pratique cependant, la formule d'Euler n'est pas directement utilisée pour dimensionner une poutre. Elle intervient toutefois sous une autre forme car optimiser le dimensionnement d'un poteau c'est choisir une section pour laquelle la résistance à la compression (liée à la limite élastique) sera sensiblement égale à la résistance au flambement (charge critique).

On définit habituellement un paramètre géométrique, λ, appelé coefficient d'élancement :

\lambda = \frac{l_k} {\rho} ,\quad\text{avec}\quad \rho^2 = \frac{I}{S}

où ρ est le [rayon de giration de la poutre] et S la section de cette poutre.

On peut alors définir un coefficient d'élancement critique, λc, qui ne dépend que des propriétés du matériaux :

\lambda_c^2 = \frac{\pi^2 E}{\sigma_e}

où σe est la limite élastique du matériau ;

On peut alors déterminer la charge critique Fc applicable sur une poutre en comparant sa valeur d'élancement λ à la valeur de λc.

  • Si   \scriptstyle \lambda \leq 20  , la poutre est en compression simple : F_c = \sigma_e * S \quad
  • Si   \scriptstyle 20 < \lambda \leq \lambda_c  , on utilise alors la formule expérimentale de Rankine : F_c = \frac{2* \sigma_e * S}{1 + \left( \frac{\lambda}{\lambda_c} \right)^2}
  • Si   \scriptstyle \lambda > \lambda_c  , on utilise alors la formule d'Euler, qui peut se réecrire sous la forme : F_c = \frac{\sigma_e * S}{\left( \frac{\lambda}{\lambda_c} \right)^2}

Poteaux en béton armé

La formule d'Euler n'est pas applicable aux poteaux et butons en béton armé, en raison de la fissuration du béton l'inertie varie sur la longueur ce qui conduit à des calculs complexes. Un des pionniers de ce domaine de calculs fut Pierre Faessel qui établit des abaques de calculs.

Géologie

En géologie, on trouve aussi le phénomène de flambage, mais à une échelle bien plus grande qu'en RDM. La compression d'une masse continentale importante provoque à l'échelle locale ou régionale la formation d'une chaine de montagne. À l'échelle d'un continent entier, le flambage provoque des séries de "creux" et de "bosses" secondaires.

Par exemple, la collision alpine, en Europe occidentale, est responsable de la formation d'autres reliefs secondaires dont l'importance diminue à mesure que l'on s'éloigne des Alpes : Massif central ("bosse")et Limagne ("creux"), la Sologne (creux), le Massif Armoricain et les Alpes Mancelles (Bosse, bien que liée aussi à l'ouverture de l'Atlantique), la Mer du Nord (creux, dont l'autre facteur explicatif est aussi l'ouverture de l'Atlantique), le Pays de Caux et le Pays de Bray (bosses), les marais et polders de la région de Calais et du Nord de la Picardie (creux), le Boulonnais, l'Artois les Ardennes et l'Eifel (Bosses), la Flandre (creux).

On pourrait décrire de la même façon le contrecoup himalayen : plateaux de Tibet (creux), Altaï (bosse), lac Baïkal (creux).

Voir aussi

Lien externe

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