Développement limité

Développement limité

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction f au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

  • d'une fonction polynôme ;
  • et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

Sommaire

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x_0 \in I. On dit que f possède un développement limité d'ordre n (abrégé par DLn) en x0, s'il existe n + 1 réels a0,a1,...,an et une fonction R : I \rightarrow \mathbb{R} tels que \forall x \in I :

f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n +R(x ) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + R(x )
avec R(x) qui tend vers 0 lorsque x tend vers x0, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que :
\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R(x )}{(x - x_0)^n} = 0

Les fonctions vérifiant ceci sont notées o((xx0)n) (voir l'article Notation de Landau). On écrit donc : f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n). Note : Le nombre n est appelé ordre de développement.

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant x = x0 + h, on a :

f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n), qui se réécrit en f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o(h^n)
Conséquences immédiates
On a a0 = f(x0)
Si une fonction admet un DLn au voisinage de x0, alors ce développement est unique.

Note : La fonction f peut être à valeurs vectorielles.

Opérations sur les développements limités

Somme
Si ƒ et g possèdent deux DLn, alors ƒ + g possède un DLn qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.
Multiplication par un scalaire
si ƒ possède un DLn alors λ·ƒ aussi, obtenu en multipliant le DLn de ƒ par λ.
Produit
Si ƒ et g possèdent des DLn, alors ƒ·g possède un DLn. Si ak, bk et ck sont les coefficients de xk dans les développements respectifs de ƒ, g et ƒ·g, le coefficient ck est obtenu par la formule suivante :
 c_k = \sum_{i+j=k}a_ib_j\,
Inverse
Si u(x0) = 0 et si u possède un DLn au voisinage de x0, alors \frac{1}{1 - u} possède un DLn. Ce développement limité se trouve en cherchant un DLn de  \sum_{k=0}^n u^k.
Composition
si u possède un DLn au voisinage de x0 et si v possède un DLn au voisinage de u(x0), alors v o u possède un DLn au voisinage de x0 qui s'obtient en cherchant un DLn de Qn o PnPn et Qn sont les DLn de u et v
Exemple : développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de e^{\frac{1}{1-x}}
DL2 au voisinage de 1 de ex :
e^x  = e(1 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{2} + o((x - 1)^2))
remarque : le DL au voisinage de 1 de ex se trouve en remarquant que ex = e.ex − 1 et en utilisant le DL de eh au voisinage de 0
DL2 au voisinage de 0 de \frac{1}{1-x} :
\frac{1}{1-x}  = 1 + x +x^2 + o(x^2)
DL2 au voisinage de 0 de e^{\frac{1}{1-x}}:
e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + (x  + x^2)+ \frac{( x +x^2)^2}{2} + o(x^2))
e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + x  +\frac{3}{2} x^2 + o(x^2))
Intégration
Si ƒ est continue sur un intervalle I autour de x0 et possède un DLn au voisinage de x0, alors toute primitive F de ƒ possède un DLn+1 au voisinage de x0 qui est
F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}^{n}\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)^{i+1}
Dérivation
Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DLn - 1 pour la dérivée d'une fonction admettant un DLn au voisinage de x0.
Par exemple, la fonction définie par
f(x) = x^3\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) pour tout x non nul et ƒ(0) = 0
possède un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0, mais sa dérivée, non continue, ne possède pas de DL1 .
Par contre, si f' admet un DL d'ordre n-1 en xo, alors la partie régulière du DL de f' est la dérivée de la partie régulière du DL d'ordre n de f en xo.

Développement limité et fonctions dérivables

Article détaillé : Théorème de Taylor.

Brook Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x0, possédait un DLn au voisinage de x0 :

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+  \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n  + o((x-x_0)^n)

soit en écriture abrégée

f(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)

En revanche, le fait qu'une fonction possède un DLn au voisinage de x0 n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x0. On peut juste déduire, de l'existence d'un DL0 au voisinage de x0, la continuité en x0, et, de l'existence d'un DL1 au voisinage de x0, la dérivabilité en x0. Par contre si la dérivée de f admet un DL d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du DL de f' est la dérivée de la partie régulière du DL d'ordre n de f en xo .

Quelques utilisations

Le développement d'ordre 0 revient à écrire que ƒ est continue en x0 :

f(x) = f(x0) + ε(x)

Le développement limité d'ordre un revient à approcher une courbe par sa tangente ; on parle aussi d'approximation affine :

f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + o(x-x_0).

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x0.

Le développement limité d'ordre 2 revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique. Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable h = \frac{1}{x} permet, à l'aide d'un DL0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL2 permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

Quelques exemples

Fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

Les fonctions suivantes possèdent des DLn au voisinage de 0 pour tout entier n.

  • \frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^n x^i+ \frac{x^{n+1}}{1-x}=\sum_{i=0}^n x^i+ o(x^n) (une conséquence en est la somme de la série géométrique).
  • \ln(1+x) = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k-1}}kx^k + o(x^{n+1}) par intégration de la formule précédente, changement de x en -x et changement d'indice k = i + 1
  • e^{x} =  \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}x^{i} + o(x^n) (en utilisant la formule de Taylor)
  • \sin(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}x^{2i+1} + o(x^{2n+2}) à l'ordre 2n + 1 ou 2n + 2, car le terme en x2n + 2 est nul (comme tous les autres termes de puissance paire), donc o(x2n + 1) = o(x2n + 2).
  • \cos(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i)!}x^{2i} + o(x^{2n+1}) ; c'est un DL à l'ordre 2n ou 2n + 1, car le terme en x2n + 1 est nul (comme tous les autres termes de puissance impaire), donc o(x2n) = o(x2n + 1).
  •  (1+x)^a = 1+\sum_{i=1}^n \frac1{i!} \left(\prod\limits_{j=0}^{i-1} (a-j)\right)x^i + o(x^n)

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

Formulaire

Développement limité au voisinage de 0 de fonctions usuelles :

  • (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)
  • \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)
  • \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)
  • \ln(1-x) = -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})
  • \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})
  • e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)
  • \cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})
  • \sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})
  • {\rm ch}(x) = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})
  • {\rm sh}(x) = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})
  • {\rm th}(x) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)
  • {\rm Arcsin}(x) = x+\frac{x^3}{2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})
  • {\rm Arccos}(x) = \frac\pi 2-x-\frac{x^3}{2 \cdot 3}-\frac{1 \cdot 3 \cdot x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5}-\cdots-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})
  • {\rm Argsh}(x) = x-\frac{x^3}{2 \cdot 3}-\cdots+(-1)^n\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})
  • {\rm Arctan}(x) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- \cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})
  • {\rm Argth}(x) = x+\frac{x^3}{3}+ \cdots +\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})

Approximations linéaires : développements limités d'ordre un

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1, qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision :

en 0 : (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha\,x +  o(x), en particulier

  • \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x +  o(x),
  • \frac1{1 + x} = 1 - x +  o(x).

De plus, on a les

Développements usuels en 0 de fonctions trigonométriques

  • à l'ordre 2 :
    • \sin x = x + o(x^2)\qquad {\rm Arcsin }~x = x + o(x^2)
    • \tan x = x + o(x^2)\qquad {\rm Arctan }~x = x + o(x^2)

ces formules étant souvent connues sous le nom d’approximations des petits angles, et

  • à l'ordre 3 :

\cos x = 1- \frac{x^2}2 + o(x^3)~.

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