- Développement Limité
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Développement limité
En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d'une fonction f au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :
- d'une fonction polynôme ;
- et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.
En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (ie : le reste) ainsi faite, soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre 1, on parle d'approximation linéaire.
En mathématique, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.
L'étude des développements limités se prolonge par l'étude des développements en séries entières.
Sommaire
Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et . On dit que f possède un développement limité d'ordre n (abrégé par D.L.n) en x0, s'il existe n + 1 réels a0,a1,...,an et une fonction tels que :
- avec R(x) qui tend vers 0 lorsque x tend vers x0, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la série. C'est-à-dire que :
Les fonctions vérifiant ceci sont notées o((x − x0)n). On écrit donc :
Note : Le nombre n est appelé ordre de développement.
Il est fréquent de chercher un développement limité au voisinage de 0. L'expression d'un tel D.L. se trouve être plus simple. En posant x = x0 + h, on a :
- qui se réécrit en
- Conséquences immédiates
- On a a0 = f(x0)
DémonstrationEn utilisant la forme du D.L.n en , on a pour h = 0 :
D'où f(x0) = a0
- Si une fonction admet un D.L.n au voisinage de x0, alors ce développement est unique.
DémonstrationSoit , une fonction admettant un D.L. d'ordre n en x0. On suppose qu'il existe deux suites de réels telles que :
On a alors :
- ...
Et donc :
D'où il y a unicité d'un tel développement limité.
Note : la fonction f peut être à valeurs vectorielles.
Opérations sur les développements limités
- Somme
- Si ƒ et g possèdent deux D.L.n, alors ƒ + g possède un D.L.n qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.
- Multiplication par λ
- si ƒ possède un D.L.n alors λ·ƒ aussi, obtenu en multipliant le D.L.n de ƒ par λ.
- Produit
- Si ƒ et g possèdent des D.L.n, alors ƒ·g possède un D.L.n. Si ak, bk et ck sont les coefficients de xk dans les développements respectifs de ƒ, g et ƒ·g, le coefficient ck est obtenu par la formule suivante :
- Inverse
- Si u(x0) = 0 et si u possède un D.L.n au voisinage de x0, alors possède un D.L.n. Ce développement limité se trouve en cherchant un D.L.n de
- Composition
- si u possède un D.L.n au voisinage de x0 et si v possède un D.L.n au voisinage de u(x0), alors v o u possède un D.L.n qui s'obtient en cherchant un D.L.n de Qn o Pn où Pn et Qn sont les D.L.n de u et v
- ex : développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de
- D.L.2au voisinage de 1 de ex :
- rem: le D.L. au voisinage de 1 de ex se trouve en remarquant que ex = e.ex − 1 et en utilisant le D.L. de eh au voisinage de 0
- D.L.2 au voisinage de 0 de :
- D.L.2 au voisinage de 0 de :
- Intégration
- Si ƒ est continue sur un intervalle I autour dex0 et possède un D.L.n au voisinage de x0, alors toute primitive F de ƒ possède un D.L.n+1 au voisinage de x0 qui est
- Dérivation
- il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un D.L.n - 1 pour la dérivée d'une fonction admettant un D.L.n au voisinage de x0.
- par exemple la fonction définie par
- pour tout x non nul et ƒ(0) = 0
- possède un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 mais sa dérivée, non continue, ne possède pas de D.L.1 .
- Par contre si f' admet un D.L. d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du D.L. de f' est la dérivée de la partie régulière du D.L. d'ordre n de f en xo .
D.L.n et fonctions dérivables
Article principal: Théorème de Taylor
Le mathématicien Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x0, possédait un D.L.n au voisinage de x0 :
soit en écriture abrégée
En revanche, le fait qu'une fonction possède un D.L.n au voisinage de x0 n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x0. On peut juste déduire, de l'existence d'un D.L.0 au voisinage de x0, la continuité en x0, et, de l'existence d'un D.L.1 au voisinage de x0, la dérivabilité en x0. Par contre si f' admet un D.L. d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du D.L. de f' est la dérivée de la partie régulière du D.L. d'ordre n de f en xo .
Quelques utilisations
Le développement d'ordre 0 consiste à considérer que ƒ est continue en x0 :
Le développement limité d'ordre 1 consiste à approcher une courbe par sa tangente ; on parle aussi d'approximation affine :
- .
Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x0.
Le développement limité d'ordre 2 consiste à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique. Il permet aussi de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact (pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul).
Le changement de variable permet, à l'aide d'un D.L.0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un D.L.1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote.
Quelques exemples
Les fonctions suivantes possèdent des D.L.n au voisinage de 0 pour tout entier n et sont développables en séries entières.
- une conséquence en est la somme de la série géométrique.
- par intégration de la formule précédente et changement de x en -x
- à l'ordre 2n + 1 ou 2n + 2, car le terme en x2n + 2 est nul (comme tous les autres termes de puissance paire), donc o(x2n + 1) = o(x2n + 2).
- à l'ordre 2n ou 2n + 1, car le terme en x2n + 1 est nul (comme tous les autres termes de puissance impaire), donc o(x2n) = o(x2n + 1).
Voir l'article série entière.
Formulaire
Développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de fonctions usuelles:
- où les Bn sont les nombres de Bernoulli
Approximations linéaires : développements limités d'ordre 1
On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1, qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision :
- en 0 : , en particulier
- ,
- en 0 : fonctions trigonométriques
Articles connexes
- Continuité
- Dérivation itérée
- Série de Taylor
- Théorème de Taylor
- Série entière
- Interpolation polynomiale
- Approximation linéaire
- Portail des mathématiques
Catégorie : Analyse réelle
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