Dérivation Logarithmique

Dérivation logarithmique

En mathématiques et plus particuliètement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction $f$ dérivable ne s'annulant pas est la fonction :

$\frac{f'}{f}$

où $f'$ est la dérivée de $f$ .

Lorsque la fonction $f$ est une fonction à valeurs strictement positives, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée de la fonction $f$ par la fonction logarithme, c'est-à-dire de $\ln \circ f$ , comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.

Formules

Donnons quelques relations qui découlent de la définition

$\Big(\ln(uv)\Big)'=\frac{(uv)'}{uv}=\frac{u'}{u}+\frac{v'}{v}$

cela exprime que la « dérivée logarithme d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs ».

Une conséquence est la formule classique de Leibniz :

(u v)' = u' v + u v'

obtenue en simplifiant les dénominateurs.

Une autre conséquence est la formule de dérivée d'un quotient :

$\left(\ln\frac uv\right)' = \frac {u'}u - \frac{v'}v = \frac{\frac{u'}v}{\frac uv} - \frac{\frac{uv'}{v^2}}{\frac uv} = \frac{\frac{u'}v - \frac{uv'}{v^2}}{\frac uv} = \frac{\frac{u'v-uv'}{v^2}}{\frac uv} = \frac{\left(\frac uv\right)'}{\frac uv}$

$\Rightarrow \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

Facteurs intégrants

L'idée de la dérivée logarithmique est assez proche de celle de la méthode des facteurs intégrants, pour les équations différentielles du premier ordre. En termes d'opérateur écrivons

$D=\frac{\rm d}{{\rm d}x}$

et soit $M$ l'opérateur de multiplication par une fonction $G$ donnée. Alors

M - 1 D M

peut être écrit (d'après la règle de dérivation d'un produit) sous la forme

D + M *

où $M *$ désigne l'opérateur de multiplication par la dérivée logarithmique de $G$ , c'est-à-dire par

$\frac{G\,'}{G}$

Souvent, nous nous donnons un opérateur tel que

D + F = L

et nous désirons résoudre l'équation

L (h) = f

d'inconnue $h$ , $f$ étant donnée. Cela nous amène à résoudre

$\frac{G\,'}G = F$

qui a pour solution

$\exp\circ \int F$

où $\int F$ est une primitive quelconque de $F$ .

Analyse complexe

La définition peut être étendue à d'autres fonctions et par exemple si $f$ est une fonction méromorphe, alors la définition a un sens en tous les nombres comlexes qui ne sont ni des zéros de $f$ , ni des pôles de $f$ . De plus en un zéro ou un pôle, la dérivée logarithmique se comporte d'une manière qui puisse être rapprochée du cas particulier de $z\mapsto z^n$ où $n$ est un entier non nul. La dérivée logarithmique est alors égale à $z\mapsto \frac nz$ .

Et on peut en déduire que de façon générale pour une fonction méromorphe $f$ , toutes les singularités de la dérivée logarithmique de $f$ sont toutes des pôles simples, de résidu $n$ d'un zéro d'ordre $n$ , de résidu $- n$ d'un pôle d'ordre $n$ . Ce fait est souvent exploité en intégration sur un contour.

Le groupe multiplicatif

Derrière l'utilisation des dérivées logarithmiques se cachent deux faits importants concernant $G l 1$ , le groupe multiplicatif des nombres réels ou sur un corps quelconque. L'opérateur différentiel

$X^{-1}\frac{\rm d}{\mathrm dX}$

est invariant par translation (ne change pas lorsqu'on remplace $X$ par $a X$ , $a$ étant une constante). Et la forme différentielle

$\frac{\mathrm dX}X$

est de même invariante. Pour des fonctions $F$ de $G l 1$ , la fonction

$\frac{\mathrm dF}F$

est ainsi une réciproque d'une forme invariante.

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