Derivation logarithmique

Derivation logarithmique

Dérivation logarithmique

En mathématiques et plus particuliètement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction f dérivable ne s'annulant pas est la fonction :

\frac{f'}{f}

où f' est la dérivée de f.

Lorsque la fonction f est une fonction à valeurs strictement positives, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée de la fonction f par la fonction logarithme, c'est-à-dire de \ln \circ f, comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.

Sommaire

Formules

Donnons quelques relations qui découlent de la définition

\Big(\ln(uv)\Big)'=\frac{(uv)'}{uv}=\frac{u'}{u}+\frac{v'}{v}

cela exprime que la « dérivée logarithme d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs ».

Une conséquence est la formule classique de Leibniz :

(uv)' = u'v + uv'

obtenue en simplifiant les dénominateurs.

Une autre conséquence est la formule de dérivée d'un quotient :

\left(\ln\frac uv\right)' = \frac {u'}u - \frac{v'}v = \frac{\frac{u'}v}{\frac uv} - \frac{\frac{uv'}{v^2}}{\frac uv} = \frac{\frac{u'}v - \frac{uv'}{v^2}}{\frac uv} = \frac{\frac{u'v-uv'}{v^2}}{\frac uv} = \frac{\left(\frac uv\right)'}{\frac uv}
\Rightarrow \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}

Facteurs intégrants

L'idée de la dérivée logarithmique est assez proche de celle de la méthode des facteurs intégrants, pour les équations différentielles du premier ordre. En termes d'opérateur écrivons

D=\frac{\rm d}{{\rm d}x}

et soit M l'opérateur de multiplication par une fonction G donnée. Alors

M − 1DM

peut être écrit (d'après la règle de dérivation d'un produit) sous la forme

D + M *

où M * désigne l'opérateur de multiplication par la dérivée logarithmique de G, c'est-à-dire par

\frac{G\,'}{G}

Souvent, nous nous donnons un opérateur tel que

D + F = L

et nous désirons résoudre l'équation

L(h) = f

d'inconnue h, f étant donnée. Cela nous amène à résoudre

\frac{G\,'}G = F

qui a pour solution

\exp\circ \int F

où \int F est une primitive quelconque de F.

Analyse complexe

La définition peut être étendue à d'autres fonctions et par exemple si f est une fonction méromorphe, alors la définition a un sens en tous les nombres comlexes qui ne sont ni des zéros de f, ni des pôles de f. De plus en un zéro ou un pôle, la dérivée logarithmique se comporte d'une manière qui puisse être rapprochée du cas particulier de z\mapsto z^n où n est un entier non nul. La dérivée logarithmique est alors égale à z\mapsto \frac nz.

Et on peut en déduire que de façon générale pour une fonction méromorphe f, toutes les singularités de la dérivée logarithmique de f sont toutes des pôles simples, de résidu n d'un zéro d'ordre n, de résidu − n d'un pôle d'ordre n. Ce fait est souvent exploité en intégration sur un contour.

Le groupe multiplicatif

Derrière l'utilisation des dérivées logarithmiques se cachent deux faits importants concernant Gl1, le groupe multiplicatif des nombres réels ou sur un corps quelconque. L'opérateur différentiel

X^{-1}\frac{\rm d}{\mathrm dX}

est invariant par translation (ne change pas lorsqu'on remplace X par aX, a étant une constante). Et la forme différentielle

\frac{\mathrm dX}X

est de même invariante. Pour des fonctions F de Gl1, la fonction

\frac{\mathrm dF}F

est ainsi une réciproque d'une forme invariante.

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