Distribution empirique
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Fonction de répartition empirique
En Statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon.
Soit un échantillon de variables iid à valeurs dans avec pour fonction de répartition F(x).
La fonction de distribution empirique Fn(x) basée sur l'échantillon est une fonction en escalier définie par
où I(A) est la fonction indicatrice de l'événement A.
Pour un x fixé, la variable est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre p = F(x). Par conséquent, la variable nFn(x) est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyenne nF(x) et pour variance nF(x)(1 − F(x)).
Propriétés asymptotiques
-
- presque sûrement pour un x fixé.
- En d'autres termes, Fn(x) est un estimateur non-biaisé de la fonction de répartition F(x).
-
converge en loi vers une loi normale N(0, F(x)(1 - F(x))) pour un x fixé.
- Le théorème de Berry–Esseen (en) procure le taux de convergence.
- Par le théorème de Glivenko-Cantelli (en) uniformément, c'est-à-dire
-
- with probability 1.
- L'inégalité de Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (en) procure le taux de convergence.
-
- converge en distribution vers la distribution de Kolmogorov, à condition que F(x) est continu.
- Le test de Kolmogorov-Smirnov de goodness-of-fit est basé sur ce fait.
- Par le théorème de Donsker,
-
- , en tant que processus indexé par x, converge faiblement dans vers un pont brownien B(F(x)).
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2010.
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