Distribution empirique

Distribution empirique

Fonction de répartition empirique

En Statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon.

Soit X_1,\ldots,X_n un échantillon de variables iid à valeurs dans \mathbb{R} avec pour fonction de répartition F(x).

La fonction de distribution empirique Fn(x) basée sur l'échantillon X_1,\ldots,X_n est une fonction en escalier définie par

F_n(x) = \frac{ \mathrm{nombre~d'\acute el \acute ements~ dans~ l'\acute echantillon} \leq x}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I(X_i \le x),

où I(A) est la fonction indicatrice de l'événement A.

Pour un x fixé, la variable I(X_i\leq x) est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre p = F(x). Par conséquent, la variable nFn(x) est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyenne nF(x) et pour variance nF(x)(1 − F(x)).

Propriétés asymptotiques

F_n(x)\to F(x) presque sûrement pour un x fixé.
En d'autres termes, Fn(x) est un estimateur non-biaisé de la fonction de répartition F(x).
\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))

converge en loi vers une loi normale N(0, F(x)(1 - F(x))) pour un x fixé.

Le théorème de Berry–Esseen (en) procure le taux de convergence.
  • Par le théorème de Glivenko-Cantelli (en) F_n(x)\to F(x) uniformément, c'est-à-dire
\|F_n(x)-F(x)\|_\infty\to 0 with probability 1.
L'inégalité de Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (en) procure le taux de convergence.
\sqrt{n}\|F_n(x)-F(x)\|_\infty converge en distribution vers la distribution de Kolmogorov, à condition que F(x) est continu.
Le test de Kolmogorov-Smirnov de goodness-of-fit est basé sur ce fait.
  • Par le théorème de Donsker,
\sqrt{n}(F_n-F), en tant que processus indexé par x, converge faiblement dans \ell^\infty(\mathbb{R}) vers un pont brownien B(F(x)).
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