Convolution de Dirichlet

Convolution de Dirichlet

En mathématiques, la convolution de Dirichlet, encore appelée produit de convolution de Dirichlet ou produit de Dirichlet est une loi de composition interne définie sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, c'est-à-dire des fonctions définies sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans les nombres complexes[Note 1]. Cette loi de convolution est utilisée en arithmétique, aussi bien algébrique qu'analytique. On la trouve aussi pour résoudre des questions de dénombrements.

Le mathématicien Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet développe ce produit en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique[1].

Sommaire

Définition, exemples et premières propriétés

Définition

  • La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques f et g, est la fonction, généralement notée f * g définie par[2] :
\forall n \in \N^* \quad (f\star g) (n) = \sum_{ab = n} f(a)g(b),\quad a,b \in \N^*

Exemples

Si f est la fonction 1F, c'est-à-dire celle qui vaut 0 partout sauf en 1 où elle vaut 1, et si g est une fonction arithmétique quelconque, on dispose de l'égalité :

\forall n \in \N^* \quad (1_F\star g) (n) = g(n)

L'ensemble F des fonctions arithmétiques admet un élément neutre, la fonction 1F.

Si φ désigne l'indicatrice d'Euler, Id la fonction identité, qui à n associe n et c1 la fonction constante 1, on dispose de l'égalité[Note 2] :

Id = c_1\star \varphi \quad\text{ou encore}\quad \forall n \in \N^*\quad n = \sum_{d|n} \varphi(d)

Ici, les symboles d|n désignent l'ensemble des diviseurs entiers positifs de n.

Premières propriétés

Dans toute la suite de l'article F désigne l'ensemble des fonctions arithmétiques. La convolution de Dirichlet possède des propriétés communes à beaucoup de lois de composition internes :

\forall f,g \in \mathcal F \quad f\star g = g\star f

Cette propriété est une conséquence directe de la définition.

\forall f,g,h \in \mathcal F \quad f\star (g\star h) = (f\star g)\star h

La démonstration provient du caractère symétrique de la formulation suivante :

\forall n \in \N^*\quad f\star (g\star h)(n) = \sum_{ab=n}f(a)(g\star h)(b) = \sum_{ab=n}f(a)\sum_{cd=b}g(c)h(d)=\sum_{acd=n}f(a)g(c)h(d)
  • La convolution de Dirichlet est distributive par rapport à l'addition :
\forall f,g,h \in \mathcal F \quad f\star (g + h) = f\star g + f\star h

La démonstration est aussi élémentaire que la précédente :

\forall n \in \N^*\quad\quad f\star (g + h)(n) = \sum_{ab = n} f(a)(g(b)+h(b)) = \sum_{ab = n} f(a)g(b)+\sum_{ab = n} f(a)h(b)=(f\star g)(n) + (f\star h)(n)

Le premier exemple montre que :

  • La convolution de Dirichlet admet un élément neutre, c'est la fonction partout nulle sauf en 1 où elle vaut 1.

Dans la suite de l'article, l'élément neutre est noté 1F.

Il est possible de résumer ces différentes propriétés par :

  • L'ensemble F des fonctions arithmétiques munis de l'addition et de la convolution de Dirichlet forme un anneau commutatif.

Unitaire signifie ici que l'anneau contient un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne.

Fonction multiplicative

Groupe des fonctions multiplicatives

L'anneau des fonctions arithmétiques n'est pas un corps.

  • Le groupe des unités de l'anneau des fonctions arithmétiques est composé des fonctions ayant une image de 1 non nulle[3].

Le groupe des unités est constitué des éléments ayant un inverse pour le produit de Dirichlet. Les fonctions multiplicatives, par définition, ont pour image de 1 la valeur 1. Elles sont donc toutes inversibles. De plus :

  • L'ensemble M des fonctions multiplicatives, muni de la convolution de Dirichlet, forme un groupe abélien[3].

En conséquence, le produit de deux fonctions multiplicatives est multiplicatif.

Fonction de Möbius

La fonction de Mobius, généralement notée μ est définie par l'équation : 1F = c1 * μ. C'est donc l'inverse de la fonction constante 1. Un calcul[Note 3] montre que si n est entier strictement positif sans facteur carré et si k est le nombre de nombres premiers qui divise n, μ(n) = (-1)k. Si un carré parfait différent de 1 divise n, μ(n) = 0.

L'inverse de la fonction constante 1 joue un rôle particulier, vis-à-vis de la convolution. Soit f une fonction arithmétique et g une fonction définie par l'égalité g = c1 * f. La fonction μ permet d'obtenir une expression de f à l'aide de g, plus exactement f = μ * g. Cette égalité est obtenue en appliquant une convolution par μ sur l'égalité définissant g. Ce résultat porte le nom de formule d'inversion de Möbius[4].

Un exemple d'usage de la formule est son application sur l'indicatrice d'Euler. Cette fonction vérifie l'égalité Id = c1 * φ. La formule d'inversion montre que :

\varphi = \mu \star Id\quad\text{ou encore}\quad \forall n \in \N^*\quad \varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(n/d)d

Fonction totalement multiplicative

Une fonctions f est dite totalement multiplicative si elle vaut 1 en 1 et si :

\forall n,m \in \N^* \quad f(n.m) = f(n).f(m)

Les fonctions totalement multiplicatives jouent un rôle en arithmétique. En théorie algébrique des nombres les caractères de Dirichlet sont des fonctions totalement multiplicatives. Leurs usages est à la base de la démonstration du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, à l'origine du développement du concept de la convolution de l'article[5]. En théorie analytique des nombres, les fonctions fs, qui à n associe ns, où s est un nombre complexe, sont utilisées pour étudier la fonction zêta de Riemann ainsi que la fréquence de certains nombres particuliers, comme les nombres premiers.

Le calcul de l'inverse pour la convolution de ces fonctions est particulièrement aisé[6] :

  • Soit f une fonction totalement multiplicative, son inverse est la fonction μ.f, qui à un entier strictement positif n associe μ(n).f(n).

La démonstration est la conséquence du calcul suivant :

\forall n \in \N^* \quad \big(f\star(\mu.f)\big)(n) = \sum_{ab=n}f(a)\mu(b)f(b)=f(n)\sum_{b|n}\mu(b)= f(n).(c_1\star\mu)(n)

Par définition, la fonction c1 * μ est égal à 1F l'élément neutre, ou encore la fonction qui vaut 1 en 1 et 0 partout ailleurs. Il suffit alors de remarquer que f(1) est égal à 1 pour conclure.

Si la convolution de deux fonctions totalement multiplicatives est multiplicative, en revanche elle n'est pas nécessairement totalement multiplicative. Par exemple la convolution c1 * c1 correspond à la fonction qui à n associe son nombre de diviseurs. Cette fonction arithmétique n'est pas totalement multiplicative, l'image de 2 est égale à 2 et celle de 4 à 3.

Série L de Dirichlet

Si f est une fonction arithmétique, on définit sa série L (série de Dirichlet) par


L(f,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

pour les arguments complexes s pour lesquels la série converge (s'il en existe).

La multiplication des séries L est compatible avec la convolution de Dirichlet dans le sens suivant :


L(f,s) L(g,s) = L(f*g,s)\,

pour tous les s tels que les deux séries du côté gauche convergent et que l'une des deux converge absolument. (Noter que la simple convergence des deux séries à gauche n'implique pas celle de la série à droite.) Ceci ressemble au théorème de convolution sur les transformées de Fourier.

Annexes

Notes

  1. De manière plus générale, les suites arithmétiques sont à valeurs dans un corps commutatif quelconque
  2. Cette égalité est démontrée dans l'article Indicatrice d'Euler
  3. Voir l'article Fonction de Möbius

Références

  1. Dirichlet Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, S. 108-110 p.307-312 1837
  2. Badiou 1960-61, p. 1
  3. a et b Badiou 1960-61, p. 2
  4. Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales par l'IREM de Marseille p 77
  5. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright (en), An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions], 5e éd., 1979, p. 13-14
  6. Badiou 1960-61, p. 3

Bibliographie


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Convolution de Dirichlet de Wikipédia en français (auteurs)

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