Construction des nombres reels

Construction des nombres reels

Construction des nombres réels

Il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus rigoureuses sont

Sommaire

Construction intuitive à partir des nombres décimaux

Article détaillé : Développement décimal.

Un nombre réel est une quantité qui a pour représentation décimale x = n + 0.d1d2d3..., où n est un entier, chaque di est un chiffre entre 0 et 9, et la séquence ne se termine pas par une infinité de 9. La définition de x est alors le nombre qui satisfait cette double inéquation pour tout k :

n + \dfrac{d_1}{10} + \dfrac{d_2}{100} + ... + \dfrac{d_k}{10^k} \leq x < n + \dfrac{d_1}{10} + \dfrac{d_2}{100} + ... + \dfrac{d_k}{10^k} + \dfrac{1}{10^k}

Construction par les coupures de Dedekind

Mise en place

C'est la construction imaginée par Richard Dedekind qui remarque que tout rationnel r coupe \mathbb Q en deux ensembles : l'ensemble Ar des rationnels a tels a < r et l'ensemble Br des rationnels b tels b \geq r. Il appelle alors (Ar;Br) une coupure de \mathbb Q. Il remarque ensuite que \sqrt 2 peut aussi partager \mathbb Q en deux ensembles : l'ensemble A des rationnels a tels que a < \sqrt 2 et l'ensemble B des rationnels b tels que b > \sqrt 2. L'idée lui vient donc de définir l'ensemble des réels comme l'ensemble des coupures de \mathbb Q. Reste maintenant à définir une coupure sans se servir de la notion intuitive de nombre réel. Dedekind propose la définition suivante :

Une coupure de Dedekind dans le corps \mathbb Q des rationnels est un couple de 2 sous-ensembles non-vides A et B tels que
  • A\cap B = \empty
  • A\cup B = \mathbb{Q}
  • \forall a\in A, \forall b\in B, a < b

On voit ainsi que tout nombre rationnel r définit deux coupures :

  • (A, B) telle que A est l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à r et B l'ensemble des rationnels supérieurs ou égaux à r
  • (A', B') telle que A' est l'ensemble des rationnels inférieurs ou égaux à r et B' l'ensemble des rationnels strictement supérieurs à r.

Pour lever cette ambiguïté, on utilise alors la définition suivante d'une coupure :

Une coupure de \mathbb Q est une partie A de \mathbb Q telle que
  • A est non vide et différente de \mathbb Q
  • pour tout a de A, si a' < a alors a' appartient à A
  • A ne possède pas de plus grand élément.

On définit alors \R comme l'ensemble de ces coupures. On peut remarquer que cette seconde définition permet d'assurer une correspondance univoque entre chaque rationnel r et la coupure Ar définie comme l'ensemble de tous les rationnels a tels que a < r. On remarque alors que \R se divise en deux ensembles, l'un comprenant les coupures dont le complémentaire admet un plus petit élément, coupure de la forme Ar, et l'autre comprenant les coupures dont le complémentaire ne possède pas de plus petit élément.

Par exemple l'irrationnel \sqrt2 est représenté par la coupure \{a \in \mathbb Q \mbox{ t.q. } a < 0 \mbox{ ou  } a^2 < 2\}.

On plonge naturellement \mathbb Q dans \R par l'application injective qui, à tout rationnel r associe la coupure Ar

Propriétés

Relation d'ordre : L'ensemble des coupures, muni de la relation d'inclusion est alors un ensemble totalement ordonné vérifiant de plus la propriété de la borne supérieure (tout ensemble non vide majoré possède une borne supérieure).

Addition : On peut alors construire une addition sur \R de la manière suivante :

c \in A + B \Leftrightarrow il existe a dans A et b dans B tels que c = a + b.

Cette addition confère à \R une structure de groupe commutatif. La seule difficulté consiste en la définition de l'opposé de A : A r (si A = Ar) ou - \overline A (si A \ne A_r)

Multiplication : La construction de la multiplication est plus subtile. Elle est définie sur tous les réels positifs de la manière suivante:

c \in A \times B \Leftrightarrow il existe a dans A \cap \mathbb Q^+ et b dans B\cap \mathbb Q^+ tels que c \leq ab .

La règle des signes permettant alors de construire la multiplication sur tout \R

L'ensemble \R muni des ces deux lois est alors un corps commutatif archimédien complet.

Construction via les suites de Cauchy

Cette construction est plus difficile à aborder mais elle offre deux avantages : la construction des opérations y est plus naturelle et elle a le mérite de se généraliser à tout espace métrique.

Définition en tant qu'ensemble

L'idée de Cantor (et quelques années avant lui de Méray) réside dans le fait que l'on peut atteindre tout nombre réel par une suite de Cauchy de nombres rationnels. C’est-à-dire une suite (un) vérifiant le critère de convergence suivant :

\forall \varepsilon >0 \; \exists N \in \N \; \forall m,n>N \quad |u_m - u_n|< \varepsilon\;

L'élément limite auquel il va falloir donner un sens sera alors défini comme un nombre réel. L'ensemble des suites de Cauchy sur \Q, que nous notons \mathcal C, apparaît cependant bien trop vaste. En effet, par exemple pour un rationnel donné, il existe une infinité de suites de Cauchy convergeant vers cette limite. Il est nécessaire de quotienter cet espace par une relation d'équivalence entre les suites. Si nous notons \mathcal R cette relation d'équivalence entre deux suites (un) et (vn), elle est définie de la manière suivante :

(u_n) \mathcal R (v_n) \Leftrightarrow  \lim_{n \to \infty}u_n-v_n=0

Nous pouvons remarquer que la relation \mathcal R est bien réflexive car la suite nulle converge bien vers 0, symétrique car si une suite converge vers 0, alors la suite opposée converge aussi vers 0, et la transitivité est une conséquence de l'inégalité triangulaire sur la valeur absolue dans \mathbb Q. Si (un), (vn) et (wn) sont trois suites rationnels, nous avons en effet:

\forall n \in \N \quad |u_n -w_n| \leq |u_n - v_n|+|v_n - w_n|\;

Toute relation d'équivalence sur un ensemble définit une partition de cet ensemble. Un élément de cette partition est appelé nombre réel, et l'ensemble des nombres réels est noté \R.

Remarque : lorsque l'on fait tendre quelque chose vers une limite ici, c'est par des \varepsilon > 0\, rationnels que l'on va encadrer, car on ne dispose pas encore des réels !

Définition en tant que corps

L'ensemble des suites dans \mathbb Q est naturellement muni d'une structure d'anneau avec l'addition et la multiplication héritées de la structure de corps dans \mathbb Q . Si (un) et (vn) sont deux suites, alors ces opérations sont définies par :

\forall n \in \N \quad (u+v)_n=u_n+v_n \,
\forall n \in \N \quad (u\cdot v)_n=u_n\cdot v_n \,

Ces opérations conservent le critère de Cauchy, ainsi la somme et le produit de deux suites de Cauchy sont encore des suites de Cauchy. Il est ainsi possible de munir \mathcal C d'une structure d'anneau.

Ces opérations conservent la partition définie par la relation \mathcal R. Ainsi quel que soit les représentants choisis de deux classes de \mathcal R la somme (resp. la multiplication) des représentants appartient à la même classe de \mathcal R. Il est ainsi possible de munir \R d'une structure d'anneau. On vérifie alors que la classe de (0) est l'élément neutre et la classe de (1) l'unité. On vérifie que \R est de plus un corps commutatif.

On plonge \mathbb Q dans \R via les suites stationnaires. On notera (a) la classe contenant la suite constante égale à a\in\mathbb Q.


Relation d'ordre

On définit \R_+ de la manière suivante : x\in \R_+ \Leftrightarrow

  • x = 0
ou
  • il existe une suite de Cauchy rationnelle (an) et un rationnel positif r tel que (an) soit un représentant de x et an > r à partir d'un certain rang

et \R_- de la manière suivante : x\in \R_- \Leftrightarrow

  • x = 0
ou
  • il existe une suite de Cauchy rationnelle (an) et un rationnel négatif r tel que (an) soit un représentant de x et an < r à partir d'un certain rang.

On définit alors une relation d'ordre sur \R en posant

x \leq y \Leftrightarrow y - x \in \R_+

On démontre que \R muni de cette relation d'ordre est un corps totalement ordonné archimédien et que cette relation d'ordre coïncide avec la relation d'ordre sur \mathbb Q


Distance et limite

La valeur absolue est alors définie par

|x| = \sup(x ; -x)\,

On remarque alors que si (an) est un représentant de x alors ( | an | ) est un représentant de | x | .

On peut alors munir \R d'une distance

d(x , y)= |x - y|

et y définir la convergence de suite.

On démontre à ce propos que, si x a pour représentant la suite de Cauchy rationnelle (xn), alors cette suite est aussi une suite de réels (\mathbb Q est plongé dans \R par la correspondance suivante : r a pour représentant la suite constante (r)) et cette suite de réels a pour limite x. Cela permet en autre de prouver que \mathbb Q est dense dans \R car tout réel est limite d'une suite de rationnels.

On démontre aussi que, sur cet ensemble, la limite d'une somme est égale à la somme des limites, la limite d'un produit au produit des limites et que la limite d'une suite positive est positive ou nulle.

Complétude et borne supérieure

On sait déjà que, par construction, toutes les suites de Cauchy rationnelles convergent dans \R. Mais on démontre que c'est aussi le cas pour toute suite de Cauchy réelle.

Cette méthode de construction se généralise à tout espace métrique E pour obtenir un espace métrique complet E' tel que E soit dense dans E'.

On démontre de plus que \R vérifie la propriété de la borne supérieure : tout sous-ensemble non vide majoré possède une borne supérieure.


Liens externes

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