Construction des gammes naturelles (Zarlino, etc.)

Acoustique musicale

Note de musique Harmonique Intervalle Consonance Cycle des quintes

Gamme musicale

Système tonal Échelle musicale Échelle diatonique Échelle chromatique Liste des gammes

Gammes et tempéraments

Gamme tempérée Gamme naturelle Gamme pythagoricienne Intonation musicale Tempérament mésotonique Tempérament inégal Tempérament par division multiple

Mesure des intervalles

Micro-intervalle Comma Cent et savart

Une gamme est dite naturelle lorsque les sons qui la composent (dans un intervalle d'octave) sont issus des harmoniques de la note tonique. Du fait de cette définition, on parle aussi de gamme des physiciens. Cette définition est suffisamment vague pour permettre des variantes, mais elles ont en commun de faire jouer un rôle important à l'intervalle de tierce majeure.

Les gammes naturelles, tout comme celle de Pythagore, ont des inconvénients importants en matière de transposition et de modulation : de ce fait elles ne sont pas utilisées dans la pratique.

Cet article expose la théorie des gammes dites « naturelles » in extenso. Pour une présentation simplifiée et de synthèse, voir l'article Gammes et tempéraments qui donne aussi une vue d'ensemble des gammes de la musique occidentale.

Sommaire 1 Introduction 1.1 Les sons harmoniques ou partiels 1.2 Intervalles harmoniques 1.3 La théorie 2 Tableau de synthèse 3 Voir aussi 3.1 Articles en relation 3.2 Autres articles 3.3 Liens externes 4 Bibliographie et sources

Introduction

L'existence des harmoniques a été démontrée par le savant acousticien Joseph Sauveur et a servi à Jean-Philippe Rameau pour élaborer sa théorie de l'harmonie classique. Par exemple, il justifie la place prééminente de l'accord parfait majeur (DO-MI-SOL) en ce que ces trois sons sont organiquement liés entre eux en tant que premiers harmoniques d'une note fondamentale, le DO à l'octave inférieure, et en appliquant le principe de l'identité des octaves. Ainsi, pour cet auteur, l'harmonie préexiste à la mélodie et constitue la quintessence même de la musique.

Il ne fait pas de doute que les phénomènes de consonance ont été identifiés par les premiers musiciens avant que les mathématiciens n'en élaborent une théorie. Les premières gammes naturelles, créées de façon empirique, ont donc certainement précédé de très longtemps la gamme pythagoricienne, édifice algébrique assez complexe.

La gamme pythagoricienne est construite à partir d'un harmonique particulier, la quinte, puis par des montées successives de quintes le nombre de fois nécessaires pour parcourir une octave complète. Les sons obtenus par cette méthode sont des harmoniques de plus en plus complexes du son fondamental. On a vu aussi que cette méthode ne permet pas de retrouver directement la quarte qui est pourtant un harmonique très simple (4/3) de celle-ci (et complément obligatoire de la quinte). La gamme pythagoricienne, d'ailleurs, résultat de spéculations théoriques remarquables, n'est pas sans défauts :

• le problème du comma, résolu faute de mieux par la « quinte du Loup», interdit certaines combinaisons de notes et certaines modulations ;
• certains intervalles très intuitifs, et particulièrement la tierce majeure (DO-MI) ne sont pas générés de façon parfaite, et sonnent, en réalité, assez faux.

D'où les tentatives des théoriciens pour mettre en œuvre d'autres méthodes, basées sur d'autres considérations.

Les sons harmoniques ou partiels

Un son musical invariable continu résulte de la superposition (ou combinaison) d'un son simple et de ses sons harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers de sa propre fréquence. On appelle second harmonique le son de fréquence double, troisième le son de fréquence triple etc. Pour un son variable inharmonique, on appelle ses composantes sons partiels. Ils sont très proches (généralement plus aigus) des fréquences harmoniques, mais ne sont pas des multiples entiers du son fondamental.

Si l'on part du DO 0 en prenant sa fréquence comme unité :

• partiel n°1 : fréquence 1 (=DO 0)
• partiel n°2 : fréquence 2 (=DO 1)
• partiel n°3 : fréquence 3 (≈SOL 1)
• partiel n°4 : fréquence 4 (=DO 2)
• partiel n°5 : fréquence 5 (tierce pure, proche de MI 2)
• partiel n°6 : fréquence 6 (≈SOL 2)
• partiel n°7 : fréquence 7 (ressemble à un Si♭ 2)
• partiel n°8 : fréquence 8 (=DO 3)
• partiel n°9 : fréquence 9 (très proche de RE 3)
• partiel n°10 : fréquence 10 (tierce pure, proche de MI 3)
• partiel n°11 : fréquence 11 (à mi-chemin entre Fa et Fa#)
• partiel n°12 : fréquence 12 (≈SOL 3)
• partiel n°13 : fréquence 13 (ressemble à un La)
• partiel n°14 : fréquence 14 (ressemble à un Si♭ 3)
• partiel n°15 : fréquence 15 (ressemble à un Si 3)
• partiel n°16 : fréquence 16 (=DO 4)

etc.

Les noms des notes ci-dessus correspondent aux hauteurs définies dans la gamme tempérée. Comme on le voit, la note SOL est un harmonique de la note DO, mais pas de celle qui la précède dans son octave : DO 0 pour SOL 1, DO 1 pour SOL 2 etc. Donc l'intervalle de quinte (rapport 3/2) relie deux notes — DO 1 et SOL 1 par exemple — dont la plus aiguë n'est pas un harmonique de la plus grave ; cependant les deux sont des harmoniques d'une même troisième note plus grave. C'est donc par un abus de langage, qu'autorise le principe de l'équivalence des octaves, que l'on peut énoncer que SOL est un harmonique de DO. C'est aussi par commodité que, de même, on considérera dans ce qui suit comme en rapport harmonique des sons dont les fréquences relatives sont en rapport rationnel l'une par rapport à l'autre : il existe alors une note suffisamment grave (mais peut-être inaudible !) dont elles sont toutes deux de vrais partiels.

Les intervalles purement harmoniques sont ceux pour lesquels le rapport de fréquence est un nombre entier. Les relations élémentaires sont celles qui s'entendent facilement dans les premiers harmoniques produits par un instrument à cordes ou un cuivre. Ces intervalles se définissent progressivement à partir de la note fondamentale par des rapports de plus en plus complexes:

• L'octave (multiplication ou division par deux) ;
• La quinte et son intervalle inverse la quarte (multiplication ou division par trois) ;
• La tierce et son inverse la sixte (multiplication ou division par cinq).

L'intervalle suivant, septième ou seconde (multiplication ou division par sept) paraît un peu faux à l'oreille, et le nombre premier suivant (multiplication ou division par onze) tombe exactement à mi-chemin entre la quarte et la quarte augmentée.

Complexité d'un intervalle naturel

Les intervalles harmoniques sont d'autant plus évidents à l'oreille que le facteur de multiplication ou de division est un facteur premier petit. Exemple: Un rapport de quinte (3/2) est plus simple qu'un rapport de tierce (5/4).

En pratique, l'oreille tend à assimiler les intervalles à des rapports de faible complexité. De ce fait, la totalité des intervalles usuellement considérés comme consonant peuvent être restitués par des facteurs qui ne font intervenir que 2, 3 et 5,... certains considèrent aussi le facteur 7 comme consonant (notamment les amateurs de la gamme par tons de Debussy... gamme qui, même tempérée, met en valeur, et fait "sentir" des intervalles comme 7/5 voire 7/4 ), et le facteur 11 est d'une complexité beaucoup plus grande et très rarement utilisé en harmonie.

Intervalles harmoniques

En répétant ces intervalles élémentaires qui correspondent à des facteurs 2, 3 et 5 (et éventuellement 7), et en privilégiant systématiquement les rapports de complexité faible, on peut obtenir un certain nombre d'intervalles, pythagoriciens (quintes et quartes), et autres intervalles naturels - essentiellement construits sur la tierce et la sixte (en pratique occidentale, les multiples de 7 sont peu utilisés, il le sont surtout par des théoriciens arabes. Les multiples de 11 sont encore moins utilisés, uniquement par certains rares compositeurs comtemporains).

Note: Le tempérament égal donne des quintes et des quartes presque pures (à 2 cent près), mais des tierces trop hautes (donc trop "dures" ou "brillantes") par rapport à l'harmonique, et au contraire des sixtes trop basses (trop "sourdes" ou "ternes").

La théorie

L'harmonique le plus simple, la quinte (intervalle DO - SOL, rapport de fréquences = 3/2) est la base de la gamme de Pythagore qui est très ancienne et probablement à l'origine de notre division de l'octave en sept notes : DO – RE – MI – FA – SOL – LA – SI. La quinte a pour intervalle complémentaire la quarte (intervalle SOL – DO ou DO – FA, rapport de fréquences = 4/3).

L'octave, la quinte et la quarte ont des rapports de fréquence qui sont tous de la forme (n+1)/n - n étant un nombre entier. L'intervalle qui sépare la quarte et la quinte est le ton ou seconde majeure (intervalle FA - SOL ou DO - RE, rapport de fréquences = 9/8) : il est de la même forme (n+1)/n.

Mais la méthode de Pythagore produit un intervalle de tierce qui sonne relativement faux (rapport de fréquences 81/64), d'où l'idée de lui substituer un intervalle de la forme (n+1)/n qui en soit très proche, soit 5/4 - la tierce majeure « pure ». La différence entre ces deux intervalles est le comma syntonique.

Partant de cette nouvelle tierce majeure, on en déduit directement :

• à la quarte : l'intervalle de sixte majeure (intervalle DO – LA, rapport de fréquences = 5/3 soit 5/4 x 4/3)
• à la quinte : l'intervalle de septième (intervalle DO – SI, rapport de fréquences = 15/8 soit 5/4 x 3/2).

Nous avons ainsi déterminé les sept notes de la gamme diatonique.

La construction des gammes dites « naturelles » va consister à diviser l'octave, de la manière la plus régulière possible, en utilisant pour intervalles les rapports rationnels (au sens mathématique de ce terme) les plus simples possibles.

Il existe une infinité de rapports de type n/m (n et m étant des nombres entiers représentants des fréquences) donnant des valeurs comprises entre 1 (la tonique ou fondamentale) et 2 (l'octave). Il va donc falloir choisir, dans cet ensemble infini de possibilités, les rapports les plus appropriés, ce qui peut se faire par la pure intuition ou en se fixant des règles a priori.

Les nombres sept (notes diatoniques) et douze (notes chromatiques) dégagés par la gamme de Pythagore — chronologiquement la première théorie consistante de division de l'octave — ont été de façon plus ou moins consciente des nombres à retrouver dans l'établissement des gammes naturelles : le hasard y a effectivement pourvu...

En introduisant « de force » l'intervalle de quarte dans la gamme pythagoricienne, celle-ci comprend notamment les intervalles 2/1 (octave), 3/2 (quinte), 4/3 (quarte) et 9/8 (ton majeur), tous de la forme (n+1)/n.

Après la quarte et avant le ton majeur, cette forme algébrique nous donnerait 5/4 (=1,25), 6/5 (= 1,2), 7/6 (1,166666?) et 8/7 (=1,142857?).

Les deux premiers sont particulièrement simples, acoustiquement ils sonnent bien avec la fondamentale et ils sont très proches de certains intervalles de la gamme pythagoricienne, ceux que nous avons désignés par I₄ (= 1,265625) et I₉ (=1,201354). Enfin, puisque (5/4) x (6/5) = 6/4 = 3/2, on voit que leur addition donne une quinte. Ces intervalles, respectivement nommés « tierce majeure » et « tierce mineure » vont jouer un rôle de premier plan, avec l'octave et la quinte, dans la construction des gammes naturelles, qui ont de nombreuses variantes.

On appelle comma syntonique l'intervalle existant entre la tierce majeure « pure » (5/4 = 1,25) et la tierce pythagoricienne (3⁴/2⁶ = 1, 265625) : sa valeur est 81/80, soit 1,0125, légèrement inférieure au comma pythagoricien.

Gioseffo Zarlino (1517–1590) élabore une des multiples gammes naturelles possibles en reconnaissant une place importante à l'intervalle de tierce « pure ».

Pour construire la gamme de Zarlino, nous allons exprimer les intervalles recherchés en fonction « pythagoricienne » de la tierce majeure puis appliquerons la formule obtenue à la tierce majeure « pure » (5/4).

Nous disposons déjà des intervalles, notes et rapports suivants

intervalle	note et rapport suivant
Fondamentale	DO 1
Ton majeur	RÉ 9/8 (deux quintes pures transposées d’une octave : 3/2 × 3/2 ÷ 2)
Tierce mineure	MI♭ 6/5
Tierce majeure	MI 5/4 (vaut 81/64, soit 4 quintes, selon Pythagore)
Quarte	FA 4/3
Quinte	SOL 3/2
Sixte (majeure)	à déterminer (vaut 27/16, soit 3 quintes, selon Pythagore)
Septième (majeure)	SI à déterminer (vaut 243/128, soit 5 quintes, selon Pythagore)
Octave	DO 2

Selon Pythagore, la sixte (27/16) est l'addition d'une tierce majeure (81/64) et d'une quarte (4/3) puisque 27/16 = (81/64) x (4/3).

Appliquons cette formule pour Zarlino : la sixte vaut (5/4) x (4/3) = 5/3.

Selon Pythagore, la septième (243/128) est l'addition d'une tierce majeure (81/64) et d'une quinte (3/2) puisque 243/128 = (81/64) x (3/2).

Appliquons cette formule pour Zarlino : la septième vaut (5/4) x (3/2) = 15/8.

Selon Pythagore, le ton majeur est la moitié de la tierce majeure car (9/8)² = 81/64. Nous ne pouvons faire en sorte que (9/8)² = 5/4 et devons donc remplacer un ton majeur par un ton mineur tel que ton mineur x (9/8) = 5/4. Le ton mineur (intervalle RÉ-MI) vaut donc 10/9.

Les autres intervalles se calculent de façon analogue, en déterminant, selon la gamme de Pythagore, une formule à base d'additions ou soustractions de tierces (T), quintes (Q) et octaves (O) donnant le résultat correct, puis en remplaçant dans cette formule la valeur de la tierce pythagoricienne par celle de la tierce pure. Nous traiterons, à titre d'illustration, les notes DO♯ et RE♯, avec un symbolisme simplifié que l'on interprétera aisément :

DO♯(P) = 2087/2048 = 2T-Q d'où DO♯(Z) = 25/24

RE♯(P) = 19683/16384 = 2T + Q - O d'où RÉ♯(Z) = 75/64

etc.

Ensemble des intervalles, notes et rapports de la gamme de Zarlino

intervalle	note	rapports de la gamme de Zarlino
Fondamentale	DO	1
Demi-ton chromatique	DO♯	25/24
Demi-ton diatonique	RÉ♭	16/15
Ton majeur	RÉ	9/8
Seconde augmentée	RÉ♯	75/64
Tierce mineure	MI♭	6/5
Tierce majeure	MI	5/4
Tierce augmentée	MI♯	125/96
Quarte diminuée	FA♭	32/25
Quarte	FA	4/3
Quarte augmentée	FA♯	45/32
Quinte diminuée	SOL♭	64/45
Quinte	SOL	3/2
Quinte augmentée	SOL♯	25/16
Sixte mineure	LA♭	8/5
Sixte majeure	LA	5/3
Sixte augmentée	LA♯	225/128
Septième mineure	SI♭	9/5
Septième majeure	SI	15/8
Septième augmentée	SI♯	125/64
Octave diminuée	DO♭	48/25
Octave	DO	2

Certaines notes, qui peuvent paraître inutiles (exemples : MI♯, DO♭ etc.) trouvent leur utilisation dans l'élaboration des modes musicaux et pour la modulation.

La gamme de Zarlino n'est pas la seule gamme « naturelle » envisageable : par exemple, Zarlino n'a pas inclus, dans sa gamme, de rapports harmoniques comportant le chiffre 7 (premier nombre premier après 2, 3 et 5), car à son époque, on commençait seulement à s'intéresser physiquement à la justesse des tierces. Pour exemple, un FA♯ fondé sur le rapport 7/5 (soit 1,4) est un rapport harmonique beaucoup plus simple que les rapports approchant, déduits de Pythagore (729/512), et de Zarlino (45/32). Par la suite, d'autres théoriciens ont proposé leur propre système, sans qu'aucun puisse vraiment présenter d'avantages décisifs.

Après avoir déterminé ces intervalles, on peut vérifier les valeurs des différentes tierces et quintes de la gamme de Zarlino :

• les tierces sont toutes justes (rapport de fréquences = 5/4) sauf la tierce SOL♭-SI♭ dont le rapport est 81/64, légèrement supérieur ;
• les quintes sont justes (rapport de fréquences = 3/2) sauf trois d'entre elles (rapport 40/27) qui ne le sont pas (valeur inférieure) : RE-LA, FA♯-DO♯, SI♭-FA.

Par ailleurs, il faut se souvenir que dans cette gamme, il y a un ton majeur et un ton mineur de valeurs différentes. On appelle comma zarlinien l'intervalle entre ces deux tons : il vaut 81/80 soit 1,0125 ; c'est le comma syntonique.

La succession des 7 intervalles constituant une octave est la suivante :

1. ton majeur
2. ton mineur
3. 1/2 ton diatonique
4. ton majeur
5. ton mineur
6. ton majeur
7. 1/2 ton diatonique

Ce qui précède montre que la gamme de Zarlino ne peut être utilisée dans la pratique lorsqu'on doit transposer ou moduler.

Prenons l'exemple très simple de la transposition de do majeur à sol majeur. L'intervalle DO-RE dans la première tonalité a pour correspondant l'intervalle SOL-LA dans la seconde, or DO-RE est un ton majeur, et SOL-LA un ton mineur.

Les autres gammes naturelles ont des inconvénients analogues.

Comme pour la gamme de Pythagore, ces problèmes musicaux ont incité les théoriciens à envisager de nouveaux principes de division de l'octave.

Tableau de synthèse

Voir aussi

Articles en relation

• Gammes et tempéraments
  • Gamme pythagoricienne
  • Gamme tempérée
  • Comma
  • Tempérament
  • Tempérament mésotonique
  • Tempérament inégal
  • Justesse des tierces
• Tempérament par division multiple
• Son (physique)

Autres articles

• Glossaire théorique et technique de la musique occidentale

Liens externes

• Construction de la gamme de Zarlino

Bibliographie et sources

• Devie Dominique : Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
• Moreno Andreatta : "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XXe siècle : aspects théoriques, analytiques et compositionnels", thèse, EHESS/IRCAM, 2003 (disponible en ligne à l’adresse: http://www.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/).
• Heiner Ruland, "Évolution de la musique et de la conscience - Approche pratique des systèmes musicaux", ÉAR, Genève 2005, ISBN-2-88189-173-X.
• Edith Weber : La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, N°2 (1965), pp. 241-243 - doi:10.2307/927346.
• Edmond Costère : Lois et styles des harmonies musicales, Paris, PUF, 1954.
• Edmond Costère : Mort ou transfiguration de l’harmonie, Paris, PUF, 1962.
• Franck Jedrzejewski : Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
• Guerino Mazzola : "The Topos Geometry of Musical Logic" (dans Gérard Assayag et al. (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, pp. 199-213).
• Guerino Mazzola : The Topos of Music, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
• François Nicolas : "Quand l’algèbre mathématique aide à penser (et pas seulement à calculer) la combinatoire musicale", Séminaire, Ircam, février 2003 (disponible en ligne à l’adresse : http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/TextesNic/mamux.html).
• E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.

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