Conjectures

En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu ni démontrer ni réfuter. Une conjecture peut également être dénommée hypothèse ou postulat.

Dans la vie de tous les jours, une conjecture est une hypothèse qui n'a encore reçu aucune confirmation.

Antichambre d'un théorème ou pièce instable du puzzle mathématique ?

Quand il se trouve – après un travail mathématique rigoureux de démonstration – qu'une conjecture est vraie, elle devient théorème et rejoint le royaume des faits mathématiques. Jusqu'à ce stade ultime de véracité, les mathématiciens doivent donc faire extrêmement attention lorsqu'ils font appel à une conjecture dans leurs structures logiques et leurs démonstrations.

Par exemple, l'hypothèse de Riemann est une conjecture de la théorie des nombres qui énonce (entre autres choses) des prévisions sur la distribution des nombres premiers. Peu de théoriciens des nombres doutent du fait que l'hypothèse de Riemann soit vraie. Dans l'attente de sa preuve éventuelle, certains mathématiciens développent d'autres démonstrations qui reposent sur la vérité de cette conjecture. Cependant, ces « preuves » tomberaient en morceaux si cette hypothèse de Riemann se révélait fausse et les faits démontrés ne pourraient être tenus pour vrais si l'hypothèse se révélait indécidable. Il y a donc un intérêt mathématique majeur à démontrer la vérité ou la fausseté des conjectures mathématiques pendantes.

Bien que la plupart des conjectures les plus célèbres aient été vérifiées pour des kyrielles étonnantes de nombres, cela ne constitue pas une garantie contre un simple contre-exemple, qui réfuterait immédiatement la conjecture considérée. Par exemple, la conjecture de Syracuse – qui concerne l'arrêt d'une certaine suite de nombres entiers – a été examinée pour tous les nombres entiers jusqu'à deux élevé à la puissance 62-ième (soit plus de quatre milliards de milliards). Cependant, elle a toujours le statut de conjecture, car on ne peut exclure l'existence d'un contre-exemple au-delà de 2⁶² qui viendrait l'infirmer, bien que l'on sache par des arguments probabilistes que de tels contre-exemples deviennent de plus en plus rares au fur et à mesure que l'on progresse vers des nombres de plus en plus grands, mais « forte vraisemblance » n'est pas « certitude ».

Toutes les conjectures ne finissent pas par être établies comme vraies ou fausses. Par exemple, l'hypothèse du continu - qui essaye d'établir la cardinalité relative de certains ensembles infinis - s'est avérée indécidable à partir de l'ensemble des axiomes généralement admis de la théorie des ensembles. Il est donc possible d'adopter cette assertion, ou sa négation, comme nouvel axiome tout en restant cohérent (comme nous pouvons également accepter le postulat de la parallèle d'Euclide comme vrai ou faux). Pire, le théorème d'incomplétude de Gödel montre que dans toute théorie qui contient l'arithmétique, il existe des propositions qui, quoique démontrable pour chacun des entiers (chaque instance de la proposition par un entier est démontrable), ne peuvent pas être démontrée en tant que théorème sur tous les entiers.

Exemples de conjectures célèbres

Les conjectures célèbres comprennent à ce jour :

• la conjecture des quatre couleurs, qui a été démontrée en 1976 en utilisant des programmes informatiques et complètement formalisée en 2006 dans l'assistant de preuve Coq,
• la conjecture de Kepler (formulée par Johannes Kepler en 1611 et résolue en 2003),
• le « dernier théorème de Fermat » (formulé en 1670 et résolu en 1994),
• la conjecture de Goldbach (formulée en 1742),
• l'hypothèse de Riemann (formulée en 1859),
• la conjecture de Poincaré (formulée en 1904 et résolue en 2003),
• la conjecture de Syracuse (formulée dans les années 1950),
• la conjecture abc (formulée en 1985),
• la conjecture P ≠ NP,
• la conjecture des nombres premiers jumeaux qui est la plus ancienne conjecture non résolue,
• la conjecture des nombres parfaits,
• la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

Jusqu'à sa preuve en 1995, la plus célèbre de toutes les conjectures était celle dénommée le « dernier théorème de Fermat ». Ce n'est qu'après sa démonstration par le mathématicien Andrew Wiles que cette conjecture devint théorème. La démonstration consista à prouver un cas particulier de la conjecture de Taniyama-Shimura, problème alors en attente de résolution pendant une quarantaine d'années. On savait en effet que le dernier théorème de Fermat découlait de ce cas particulier. Le théorème complet de Taniyama-Shimura fut finalement démontré en 1999 par Breuil, Conrad, Diamond, et Taylor qui, en s'appuyant sur le travail de Wiles, remplirent par sauts de puce les cas restants jusqu'à la démonstration du résultat complet.

La plus discutée actuellement, mais aussi la plus ancienne qui puisse être datée, est probablement la conjecture de Kepler. La preuve qui en a été publiée dans le journal Annals of Mathematics a satisfait les experts à 99 %. Une preuve satisfaisante à 100 % reste encore à produire.

Une conjecture qui a résisté pendant 66 ans est le problème de Robbins. Son intérêt réside dans le fait que la seule solution qui en existe a été produite par un programme d'ordinateur (voir W. McCune. Solution of the Robbins problem, J. Automated Reasoning, 19(3):263--276, 1997).

Exemples de travaux en cours

Le programme de Langlands est un enchaînement de grande envergure qui vise l'unification des conjectures reliant différents champs des mathématiques : la théorie des nombres et la théorie de la représentation des groupes de Lie, certaines de ces conjectures ayant été depuis démontrées.

Divers

• Le terme de conjecture ne doit pas être confondu avec celui de conjoncture (ces deux termes étant des paronymes).

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