Condition de Hölder

En analyse, la continuité höldérienne ou la condition de Hölder est une condition suffisante (mais non nécessaire) pour qu’une application définie entre deux espaces métriques soit continue. La définition s’applique en particulier pour les fonctions d’une variable réelle.

Si $(X, d_X)\,$ et $(Y, d_Y)\,$ sont deux espaces métriques, une fonction $f : X \rightarrow Y\,$ est dite $a\,$ -höldérienne s’il existe une constante $C > 0\,$ telle que :

$\forall (x, y) \in X^2, d_Y\left( f(x), f(y) \right) \leq C . d_X\left( x, y \right)^a$ .

La continuité höldérienne d’une fonction dépend donc d’un paramètre réel strictement positif $a \in ]0, 1]\,$ et prend en compte toutes les variations de la valeur de la fonction sur son ensemble de définition.

Lorsque $a = 1\,$ , l’application est lipschitzienne.
Si $0 < a \leq 1\,$ est fixé, l’ensemble des fonctions réelles $a\,$ -höldériennes est un espace vectoriel, conventionnellement noté $\mathcal{C}^{0, a}(X, \mathbb{R})$ , particulièrement important en analyse fonctionnelle.

Cette condition porte le nom de Otto Hölder, un mathématicien allemand de la fin du XIX^e siècle.

Exemples

Fonction puissance

Graphe de la fonction racine carrée.

Le graphe de la fonction $x \mapsto \sqrt{x}\,$ est tracé sur la figure de droite. C’est une fonction $1/2\,$ -höldérienne sur $\mathbb{R}_+\,$ .

En effet, pour tous réels positifs $x, y$ , l’inégalité $\sqrt{x y} \geq 0\,$ implique

$x + y \leq x + 2\sqrt{x y} + y\,$ et donc

$\sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y}\,$ . Il s’ensuit :

$0 \leq \sqrt{x + y} - \sqrt{x} \leq \sqrt{y}\,$ .

Plus généralement, pour $0 < a \leq 1\,$ , la fonction puissance $x \mapsto x^a$ est a-höldérienne sur $\mathbb{R}_+\,$ .

Cependant, cette fonction puissance n'est pas b-höldérienne pour $b \neq a$ .

Les conditions de Hölder (quel que soit leur paramètre fini $a\,$ ) sont donc plus faibles que la dérivabilité, mais plus fortes que la simple continuité.

Par exemple, la fonction puissance n‘est en général pas dérivable en 0 (quand l’exposant constant qui la paramètre est négatif ou nul, ou bien non entier), bien qu’elle puisse (quand l’exposant constant est un entier strictement positif) être définie, continue et infiniment dérivable sur l’ensemble des réels.

Elle peut aussi être $a\,$ -holdérienne sur le même ensemble (ou seulement sur le sous-ensemble des réels positifs), pour au moins une valeur de $a\,$

Elle peut aussi être localement $a\,$ -holdérienne (sur certains intervalles finis dans son espace de définition, la valeur du paramètre $a\,$ déterminant la largeur maximale de ces intervalles).

Logarithme

La fonction $h : x \mapsto x . \ln x$ est définie et continue sur $\mathbb{R}_+^*\,$ , et se prolonge par continuité en 0 par la valeur 0.

Cette fonction intervient dans les définitions mathématiques de l’entropie (lire par exemple entropie de Shannon ou entropie de Kolmogorov).

Sur le segment [0, 1], la fonction h est a-höldérienne pour tout $0 < a < 1\,$ . Mais elle n’est pas lipschitzienne, autrement dit, elle n‘est pas 1-höldérienne.

Courbe de Peano

La courbe de Peano est une application continue surjective de $[0, 1]\,$ sur $[0,1]^2\,$ . Elle est 1/2-höldérienne.

Mais il n’existe aucune application continue surjective de $[0, 1]\,$ sur $[0, 1]^2\,$ qui soit $a\,$ -höldérienne pour $a > 1/2\,$ . L’argument, donné plus bas, repose sur la notion de dimension en mathématiques.

Mouvement brownien

Le mouvement brownien est une loi aléatoire sur les fonctions continues $\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\,$ .

Presque sûrement, une fonction continue est $a\,$ -höldérienne pour $a < 1/2\,$ mais n’est pas $1/2\,$ -höldérienne.

L’étude du mouvement brownien a donné un intérêt nouveau à la condition de Hölder.

Propriétés

Toute application f qui est a-höldérienne est continue. Mieux, elle est uniformément continue, dans le sens suivant.

Si $\epsilon > 0$ , alors pour $\eta = \left( \epsilon / C \right)^{1 / a}\,$ , l’inégalité $d\left( x, y \right) < \eta\,$ implique $d\left( f(x), f(y) \right) < \epsilon\,$ .

Le réel $\eta\,$ dépend de $\epsilon\,$ , mais est indépendant de la variable $x\,$ parcourant l’espace de définition de l’application.
Une fonction sur un ouvert de Rⁿ à valeurs dans R^m qui est lipschitzienne est presque partout dérivable : c'est le théorème de Rademacher.
Au contraire, pour a < 1, il existe des exemples de fonctions a-höldériennes et nulle part dérivables, comme la fonction de Van der Waerden ou la fonction de Weierstrass. Ces dernières sont définies comme sommes de séries de fonctions.
Un constat simple mais utile : si l’espace métrique (X, d) est de diamètre fini, alors toute application a-höldérienne définie sur X est bornée.

Régularité de Sobolev

Article détaillé : Espace de Sobolev.

Dans cette section, $I$ désigne un intervalle ouvert de ℝ.

Une fonction $\scriptstyle f:I\to\R$ admet une dérivée faible, s’il existe une fonction localement intégrable $g$ telle que pour toute fonction continument dérivable à support compact $\scriptstyle\varphi:I\to\R$ ,

$\int_If\varphi'=\int_Ig\varphi.~$

Lorsque $f$ et $g$ sont de classe L^p, la fonction $f$ est dite de classe $W 1, p$ .

Pour 1 < $p$ < ∞, une fonction de classe $W 1, p$ est continue et $a$ -höldérienne pour $a = 1 - 1 / p$ .

Une précision est ici nécessaire. À proprement parler, L^p est un espace de classes fonctions définies presque partout. Cependant, chaque classe a au plus un représentant qui est une fonction continue. Cela prend donc sens de dire qu'un élément de L^p est continu. Le résultat ci-dessus est un cas particulier des inégalités de Sobolev (en).

Démonstration

La fonction $g$ est localement intégrable ; on pose

$h(x)=f(x)-\int_y^xg(t)~\mathrm dt.$

Pour toute fonction continument dérivable φ à support compact, on a :

$\int_Ih(t)\varphi'(t)~\mathrm dt=-\int_Ig(t)\varphi(t)~\mathrm dt-\int_{y\le x}g(y)\varphi'(x)~\mathrm dy=0.$

En conséquence, la fonction $h$ est constante, et il s'ensuit :

$f(y)-f(x)=\int_x^yg(t)~\mathrm dt.$

Par l’inégalité de Hölder,

$\left|f(y)-f(x)\right|\le\left\|g\right\|_{\mathrm L^p}.\left|y-x\right|^{1-1/p}.$

Sur le paramètre a

Dans la définition ci-dessus, le paramètre a a été fixé dans l'intervalle ]0,1]. Quelques remarques sont nécessaires sur le choix du paramètre a et son importance.

Le paramètre a est limité aux valeurs inférieures ou égales à 1 à cause du phénomène suivant pour les valeurs supérieures : une fonction d’une variable réelle qui vérifie la condition de Hölder pour un a> 1 est localement constante (donc constante sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition).
La plage de valeurs du paramètre $a \in]0,1]\,$ pour lesquelles f est a-höldérienne est un sous-intervalle (non nécessairement fermé) de ]0,1] ; autrement dit, c'est un sous-ensemble convexe :

si 0 < a < b ≤ 1 et si f est à la fois a-höldérienne et b-höldérienne, alors elle est c-höldérienne pour tout $c\in [a, b]\$ .

Une fonction peut être a-höldérienne pour une unique valeur de a.
Si l’espace métrique ( X , d ) est de diamètre fini, alors toute application a-höldérienne est b-höldérienne pour tout b < a.

Dimension et fonctions a-höldériennes

La dimension de Hausdorff est une bonne définition de la dimension d’un espace métrique. En tout cas, elle étend la définition de la dimension des espaces vectoriels rencontrés en algèbre linéaire.

Les fonctions $a\,$ -höldériennes diminuent la dimension de Hausdorff modulo un facteur $1/a\,$ :

Si $f\,$ est une application $a\,$ -höldérienne d’un espace métrique $(X, d)\,$ dans un espace métrique $(Y, d')\,$ , alors

$\dim_H{f(X)} \leq \frac1a \dim_H{X}\,$ .

Application :

Une application continue surjective $[0, 1] \rightarrow [0, 1]^2\,$ ne peut pas être $a\,$ -höldérienne pour $a > 1/2\,$ . En effet, la dimension d’un carré $[0, 1]^2\,$ est 2 et n’est pas inférieure à $1/a\,$ pour $a > 1/2\,$ .

Cependant, Giuseppe Peano a donné un exemple d’une application continue surjective $1/2\,$ -höldérienne.

Espaces C^0,a

En analyse fonctionnelle, l’ensemble des fonctions réelles $a$ -höldériennes définies sur un espace métrique $(X, d)$ est regardé comme un ℝ-espace vectoriel, conventionnellement noté $\scriptstyle\mathcal C^{0,a}(X,\R)$ .

On suppose désormais que $(X, d)$ est borné.

$\scriptstyle\mathcal C^{0,a}(X,\R)$ est alors muni de la norme

$f\mapsto \|f\|=\sup_{x\in X}|f(x)|+\sup_{x\ne y}\frac{|f(x)-f(y)|}{d(x,y)^a}.$

Cet espace vectoriel normé est complet : explicitement, si une suite de fonctions $a$ -höldériennes est de Cauchy pour cette norme, alors elle converge uniformément vers une fonction $a$ -höldérienne et la convergence a lieu dans $\scriptstyle\mathcal C^{0,a}(X,\R)$ .

Preuve que l’espace vectoriel normé $\scriptstyle\mathcal C^{0,a}(X,\R)$ est complet.

Soit $(f n)$ une suite de fonctions $a$ -höldériennes de $X$ dans ℝ. On la suppose de Cauchy pour la norme définie ci-dessus. Donc, pour ε>0, il existe $N$ (ε) tel que pour tous $n, m > N$ (ε) :

$\forall x,y\in X,\quad|f_n(x)-f_m(x)|\le\varepsilon\quad\text{et}\quad|(f_n(x)-f_m(x))-(f_n(y)-f_m(y))|\le\varepsilon.d(x,y)^a.$

En particulier, la suite des réels $f n (x)$ est de Cauchy et par conséquent converge vers une limite notée $f (x)$ .

Dans les inégalités ci-dessus, on peut faire tendre $m$ vers l’infini et obtenir :

$|f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon\quad\text{et}\quad|(f_n(x)-f(x))-(f_n(y)-f(y))|\le\varepsilon.d(x,y)^a.$

Par la seconde inégalité, la fonction $f n - f$ est $a$ -höldérienne, et il s’ensuit que $f$ est $a$ -holdérienne.

Par ailleurs, ces inégalités impliquent :

$\|f_n-f\|\le2\varepsilon.$

La suite $(f n)$ converge donc dans $\scriptstyle\mathcal C^{0,a}(X,\R)$ vers $f$ .

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