- Otto Hölder
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Otto Ludwig Hölder
Otto Ludwig Hölder en 1934.Naissance 22 décembre 1859
Stuttgart (Allemagne)Décès 29 août 1937 (à 77 ans)
Leipzig (Allemagne)Nationalité Allemande Champs Mathématiques Renommé pour inégalité de Hölder modifier Otto Ludwig Hölder (22 décembre 1859 – 29 août 1937) est un mathématicien allemand né à Stuttgart, capitale du Land Baden-Würtenberg (Allemagne).
En 1877, il entra à l'Université de Berlin et il obtint son doctorat en 1882 à l'Université de Tübingen. Le titre de sa dissertation doctorale est Beiträge zur Potentialtheorie (Contributions à la théorie du potentiel). Il enseignait à l'Université de Leipzig à partir de 1899 jusqu'à son éméritat en 1929.
On le connaît notamment pour :
- la moyenne de Hölder, qui est un cas de moyenne généralisée (en), souvent notée
;
- la moyenne de Hölder utilise la fonction
d’élévation à une puissance constante
pour transformer d'abord ses termes, avant d'en faire une somme (éventuellement pondérée), puis la fonction inverse
sur la somme obtenue ; la moyenne de Hölder généralise différentes moyennes, dont :
- la moyenne arithmétique, définie pour
soit
, ou
- la moyenne quadratique, définie pour
soit
(utilisée comme distance euclidienne ou norme euclidienne classique), ou encore
- la moyenne harmonique, définie pour
soit
;
- la moyenne arithmétique, définie pour
- la moyenne de Hölder peut aussi être étendue par continuité aux valeurs limites de son exposant,
- pour
soit
(dans le cas où la pondération des termes est uniforme, cette moyenne est alors la borne inférieure, ou la valeur minimale si le nombre de termes est fini), ou
- pour
soit
(cette moyenne est alors la moyenne géométrique), ou encore
- pour
soit
(dans le cas où la pondération des termes est uniforme, cette moyenne est alors la borne supérieure, ou la valeur maximale si le nombre de termes est fini) ;
- pour
- toutes ces moyennes sont définies de sorte que l'inégalité arithmético-géométrique classique :
- se formalise en :
- dans laquelle la comparaison des différentes moyennes revient à comparer les exposants de définition de la moyenne de Hölder (ce résultat se généralise à toutes les autres valeurs de l'exposant) ;
- la moyenne de Hölder utilise la fonction
- la norme de Hölder : toutes les variantes de la moyenne de Hölder répondent à la définition nécessaire d’une norme, et ce type de moyenne est donc souvent utilisé comme mesure de distance dans un espace mesuré ou comme norme alternative d’un espace vectoriel topologique ; elle se note alors
; elles trouvent de nombreuses applications théoriques dans l’étude des conditions de convergences de suites ou de séries, ou encore en théorie des ensembles, mais aussi des applications pratiques en analyse numérique, en sciences physiques, comme aussi en ingénierie quand on ne peut pas toujours estimer une norme exacte mais obtenir des résultats significatifs en changeant de norme pour borner les intervalles d'incertitude.
- l'inégalité de Hölder, portant sur la norme de Hölder ;
- le théorème de Jordan-Hölder ;
- le théorème de Hölder ;
- la condition de Hölder.
Voir aussi
- (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Otto Hölder », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne].
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- la moyenne de Hölder, qui est un cas de moyenne généralisée (en), souvent notée
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