- Fonction de classe C1
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Dérivation itérée
En mathématiques, le concept de dérivation itérée étend le concept de dérivée en le répétant plusieurs fois.
Sommaire
Définition
Soit f une fonction de
vers
définie sur un intervalle
(non vide et non réduit à un point). On s'intéresse dans cet article aux dérivées successives de cette fonction.
Dérivée première sur un intervalle
Lorsque la dérivée f'(x) existe pour tout
, on dit que f est « dérivable sur I ».
On définit dans ce cas la fonction f' :
.
Cette fonction f' s'appelle la « fonction dérivée de f sur I » ou « fonction dérivée première de f sur I » et se note également f(1).
Dérivée seconde sur un intervalle
Lorsque f est dérivable sur I et que la fonction f' est elle-même dérivable sur I, sa fonction dérivée sur I, (f')', s'appelle la fonction « dérivée seconde de f sur I » et se note f'' ou f(2). On dit alors que f est « dérivable deux fois sur I ».
Dérivée ne sur un intervalle
On définit par récurrence (sous réserve d'existence) les « dérivées successives de f sur I » par l’égalité
La fonction f(n) (où
) est appelée fonction « dérivée ne (ou d'ordre n) de f sur I ».
Lorsqu'elle existe, on dit que f est « dérivable n fois sur I ». Dans ce cas, toutes les dérivées successives de f ayant un ordre strictement inférieur à n sont continues sur I, puisqu'elles y sont dérivables ; mais f(n) n'est pas nécessairement continue sur I : c'est ce qui motive la définition donnée infra des fonctions de classe Cn.
- Nota
- On convient de définir la fonction dérivée d'ordre 0 de f en posant f(0) = f.
Classe Cn
Soit n un entier naturel non nul. On dit que la fonction f est de classe Cn (ou n fois continûment dérivable) sur I si elle est n fois dérivable sur I et si la fonction f(n) est continue sur I.
Conformément à la convention indiquée supra, la fonction f est dite de classe C0 sur I si elle est continue sur I.
La fonction f est dite de classe
(ou indéfiniment dérivable) sur I si pour tout
, elle est dérivable n fois sur I.
Cela revient à dire que pour tout, f est de classe Cn sur I.
Dérivée d'ordre non entier
Toutes les définitions données ci-dessus se rapportent à une dérivation à un ordre n entier. Il peut être intéressant d'étudier le cas des dérivations à des ordres non entiers. Ceci fait l'objet d'une discipline appelée l'analyse fractionnaire et trouve de nombreuses applications dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'acoustique, la thermodynamique ou l'électromagnétisme.
Formule de Leibniz
Le produit de deux fonctions d'une variable réelle f et g définies et dérivables jusqu'à l'ordre n sur un intervalle I est dérivable jusqu'à l'ordre n. La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre n donnée par :
où les nombres entiers
sont les coefficients binomiaux.
Voir aussi
Articles connexes
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