Calcul de résidu

Calcul de résidu

Résidu (analyse complexe)

En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus.

Sommaire

Définition et propriétés

Soit D\subseteq\Complex un ouvert de \Complex, Df isolé dans D et f: D\smallsetminus D_f \to \Complex une fonction holomorphe. Pour chaque point a\in D, il existe un voisinage de a noté U=U_r(a)\smallsetminus\{a\}\subset D relativement compact dans D, telle que f | U est holomorphe. La fonction f possède dans ce cas un développement de Laurent sur U :

f\big|_U(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n.

On définit alors le résidu de f en a par :

\operatorname{Res}_af(z)\doteqdot a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f

Le résidu d'une fonction holomorphe f en un point singulier a (pôle ou point singulier essentiel) est donc a − 1, c'est-à-dire le coefficient de 1 / (z − a) dans le développement de Laurent de la fonction au voisinage de a.

Le résidu est \Complex-linéaire, c’est-à-dire que pour \lambda,\mu\in\Complex on a : Resa(λf(z) + μg(z)) = λResaf(z) + μResag(z).

Méthodes de calcul

On calcule les résidus traditionnellement de deux manières :

  • soit à partir du développement de Laurent au voisinage de a
  • soit en utilisant la formule générale suivante, si f possède en a un pôle d'ordre n :
    \operatorname{Res}_a f(z) = \frac{1}{(n-1)!}\lim\limits_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}(z-a)^nf(z)

Pour deux fonctions f et g à valeurs dans \Complex, on a également les relations suivantes :

  • Si f a en a un pôle d'ordre 1 : \operatorname{Res}_a f(z) = \lim\limits_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)
  • Si f a en a un pôle d'ordre 1 et si g est holomorphe en a : Resag(z)f(z) = g(a)Resaf(z)
  • Si f a en a un zéro d'ordre 1 : \operatorname{Res}_a\tfrac{1}{f(z)} = \tfrac{1}{f'(a)}
  • Si f a en a un zéro d'ordre 1 et si g est holomorphe en a : \operatorname{Res}_a\tfrac{g(z)}{f(z)} = \tfrac{g(a)}{f'(a)}
  • Si f a en a un zéro d'ordre n : \operatorname{Res}_a\tfrac{f'(z)}{f(z)}=n.
  • Si f a en a un zéro d'ordre n et si g est holomorphe en a : \operatorname{Res}_a g(z)\tfrac{f'(z)}{f(z)}=g(a)n.
  • Si f a en a un pôle d'ordre n : \operatorname{Res}_a\tfrac{f'(z)}{f(z)}=-n.
  • Si f a en a un pôle d'ordre n et si g est holomorphe en a : \operatorname{Res}_a g(z)\tfrac{f'(z)}{f(z)}=-g(a)n.

Exemples

  • Resaf(z) = 0 quand f est holomorphe en a.
  • Soit f(z)=\tfrac{1}{z}. f a en 0 un pôle d'ordre 1, et Res0f(z) = 1.
  • f(z) = \tfrac{\cos(z)}{z}= \tfrac{1}{z} - \tfrac {z}{2!} + \tfrac{z^3}{4!} - \cdots au voisinage de 0. Le résidu vaut donc 1.
  • \operatorname{Res}_1\tfrac{z}{z^2-1}=\tfrac{1}{2}, comme on le voit immédiatement avec la linéarité et la règle de dérivation logarithmique, puisque z\mapsto z^2-1 a en 1 un zéro d'ordre 1.
  • La fonction gamma a en − n pour n\in\N des pôles d'ordre 1, et le résidu vaut \operatorname{Res}_{-n}\Gamma(z)=\tfrac{(-1)^n}{n!}.

Théorème des résidus

Article détaillé : Théorème des résidus.

Soit f une fonction holomorphe sur Ω, un ouvert étoilé, sauf peut-être présentant des singularités isolées aux points de l'ensemble S \subset\Omega. Alors si γ est un lacet tracé dans Ω et ne rencontrant pas S, on a :

\int_{\gamma} f(z)\mathrm dz = 2\mathrm{i} \pi\sum_{z \in S} \operatorname{Ind}_{\gamma} (z) \operatorname{Res}(f,z)

où Indγ(z) est l'indice du chemin γ au point z.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « R%C3%A9sidu (analyse complexe) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Calcul de résidu de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Residu (analyse complexe) — Résidu (analyse complexe) En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l intégrale curviligne d une fonction holomorphe aux alentours d une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois …   Wikipédia en Français

  • Calcul rénal — Classification et ressources externes Un calcul rénal de 8 mm de diamètre. CIM 10 …   Wikipédia en Français

  • Calcul Rénal — Radiographie de vessie laissant apparaître un large calcul en forme d étoile opaque aux rayons X …   Wikipédia en Français

  • Calcul renal — Calcul rénal Radiographie de vessie laissant apparaître un large calcul en forme d étoile opaque aux rayons X …   Wikipédia en Français

  • Résidu (analyse complexe) — En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l intégrale curviligne d une fonction holomorphe aux alentours d une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de… …   Wikipédia en Français

  • Résidu à l'infini — En analyse complexe, le résidu à l infini est le résidu d une fonction holomorphe sur une couronne de rayon extérieur infini. L infini étant un point ajouté à l espace localement compact pour le rendre compact (il s agit alors d une… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des residus — Théorème des résidus Le théorème des résidus en analyse complexe est un outil puissant pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions holomorphes sur des courbes fermées ; il peut aussi bien être utilisé pour calculer des intégrales de …   Wikipédia en Français

  • Théorème des résidus — Le théorème des résidus en analyse complexe est un outil puissant pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions holomorphes sur des courbes fermées ; il peut aussi bien être utilisé pour calculer des intégrales de fonctions réelles… …   Wikipédia en Français

  • Augustin-Louis Cauchy — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Augustin Louis Cauchy …   Wikipédia en Français

  • Augustin Cauchy — Augustin Louis Cauchy Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Augustin Louis Cauchy …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”