- Borne (mathématiques)
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- d'une part, que c est un majorant de A
- d'autre part, que
, si bien que 
, ce qui se réécrit : b2≥2. Comme ℚ ne contient pas de racine carrée de deux, on a même b2>2, qui se traduit par : c<b. - Dans l'ensemble des nombres réels :
- toute partie majorée non vide de l'ensemble des réels possède une borne supérieure ;
- la borne supérieure de l'intervalle ]0,1[ est 1 ;
- la borne inférieure de l'intervalle ]0,1[ est 0.
- L'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de ℚ qui n'a pas de borne supérieure dans ℚ.
- La partie ℤ de ℝ ne possède pas de borne supérieure (ni inférieure). Toutefois, considéré comme sous-ensemble de la droite achevée
, il admet 
comme borne supérieure (et 
comme borne inférieure). - L'ensemble vide n'a pas de borne supérieure (ni inférieure) dans ℝ, mais dans ℝ il admet comme borne supérieure, car tout élément de ℝ est un majorant de l'ensemble vide et le plus petit d'entre eux est (et il admet comme borne inférieure).
- Un treillis est un ensemble ordonné où toute paire possède une borne supérieure et une borne inférieure. Il est dit complet si toute partie possède une borne supérieure et une borne inférieure (cette condition est en fait redondante). Par exemple ℝ est un treillis complet.
- Pour tout ensemble non vide X, l'ensemble ℝX des applications de X dans ℝ (muni de l'ordre produit) est par conséquent complet. Ainsi, toute famille
d'applications de X dans ℝ possède une borne supérieure 
et une borne inférieure 
. Il résulte de leur définition que pour tout 
, 
- Ainsi, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions n'est autre que sa borne supérieure.
Pour les articles homonymes, voir Borne.En mathématiques, une borne est une extrémité d'un intervalle dans lequel se situent tous les éléments d'un ensemble donné ou toutes les valeurs d'une fonction donnée. Une borne est un majorant si elle est supérieure à toutes ces valeurs ; elle est un minorant si elle est inférieure à toutes ces valeurs. S'il existe à la fois un minorant et un majorant, l'ensemble ou la fonction sont dits « bornés ».
La borne supérieure, ou supremum d'un ensemble de nombres réels est le plus petit de ses majorants. Son existence est assurée dès lors que l'ensemble est non vide et a au moins un majorant : on dit que ℝ possède la propriété de la borne supérieure. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure, ou infimum, le plus grand des minorants, pour tout ensemble non vide de nombres réels admettant au moins un minorant.
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Définition
Dans un ensemble ordonné E, la borne supérieure d'une partie F de E est, s'il existe, le plus petit majorant de F. Elle est classiquement notée sup(F).
De la même manière, dans un ensemble ordonné E, la borne inférieure d'une partie F de E est, s'il existe, le plus grand minorant de F. Elle est classiquement notée inf(F).
Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné quelconque ne possède pas nécessairement une borne supérieure, mais si elle en possède une, celle-ci est unique. De même sa borne inférieure, si elle existe, est unique.
Propriété de la borne supérieure
On dit qu'un ensemble ordonné E possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide et majorée de E possède une borne supérieure.
C'est notamment le cas de l'ensemble ordonné ℝ des réels.
Il suffit de montrer qu'on peut trouver dans ℚ une partie A qui ne possède pas de borne supérieure.
Pour cela, considérons le sous-ensemble 
et b un majorant rationnel de A, et exhibons un nouveau majorant rationnel c<b, ce qui montrera que A ne possède pas de plus petit majorant rationnel.
Remarquons d'abord que 1 appartient à A donc b≥1>0, et considérons le rationnel 
(construit en s'inspirant de la méthode de Héron). Comme 
on a c2≥2, dont on déduit :
