Birapport

Birapport

Rapport anharmonique

Le rapport anharmonique ou birapport est un outil puissant dans la géométrie, en particulier la géométrie projective. Le nom de rapport anharmonique a été créé par Michel Chasles mais la notion lui est bien antérieure.

Sommaire

Rapport anharmonique de quatre points

Si A, B, C et D sont quatre points distincts d'une droite (d) on appelle birapport ou rapport anharmonique de (A,B) et (C,D) le rapport des mesures algébriques suivant :

\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}}

Birapport1.png

Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est \frac{\frac21}{\frac32}=\frac{4}{3}

Birapport2.png

Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est -1/3

Propriétés

Ce rapport est indépendant du repère choisi sur la droite (d) et de l'unité de longueur choisie.

Il est facile de voir que si l'on permute, en même temps A/B et C/D, on ne modifie pas le rapport anharmonique.

Ce rapport reste invariant pour de nombreuses transformations géométriques : isométrie, similitudes, transformation affine. La dualité par pôles et polaires réciproques conserve aussi le rapport anharmonique de quatre éléments d'une structure unidimensionnelle.

Il reste aussi invariant pour des homographies comme la projection centrale...

Si C est le barycentre de (A, a) et (B, b) et si D est celui de (A, a') et (B, b') alors le rapport anharmonique est

\frac{ab'}{a'b}

Ce qui explique d'ailleurs qu'une transformation conservant les barycentres conserve aussi les rapports anharmoniques

Rapport anharmonique de quatre droites concourantes

Birapport et projection.png

Un résultat important en géométrie projective stipule qu'une projection centrale conserve le rapport anharmonique . Il permet de dire dans la figure ci-jointe que les rapports anharmoniques de (A, B ; C, D) et (A', B' ; C' D') sont égaux quelles que soient les droites qui portent la série des quatre points. (Une démonstration est réalisable en utilisant plusieurs fois le théorème de Thalès).

Puisque ce rapport est indépendant de la sécante aux quatre droites, ce rapport ne dépend que de la position relative des quatre droites. Il est alors appelé rapport anharmonique des droites

(dA,dB;dC,dD)

Voir Faisceau harmonique

Division harmonique

Lorsque le rapport anharmonique est égal à -1, on dit que les quatre points sont en division harmonique. Le point D est alors appelé le conjugué de C par rapport à A et B. On peut prouver que C est aussi le conjugué de D par rapport à ces même points.

Exemple 1: la suite harmonique

Le point d'abscisse \frac13 est le conjugué du point d'abscisse 1 par rapport aux points d'abscisse 0 et \frac12.

le point d'abscisse \frac14 est le conjugué de celui d'abscisse \frac12 par rapport aux points d'abscisse 0 et \frac13.

De manière générale, le point d'abscisse \frac{1}{n+2} est le conjugué du point d'abscisse \frac{1}{n} par rapport aux points d'abscisse \frac{1}{n+1} et 0

On définit ainsi la suite de nombres 1, \frac12, \frac13, \frac14... appelée suite harmonique que l'on retrouve en musique pour définir la gamme harmonique

Suite harmonique.png

Exemple 2 : moyenne harmonique

Le conjugué de 0 par rapport à x et y est la moyenne harmonique de x et de y :

\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}

Exemple 3 : barycentre

Si C est le barycentre de (A, a) et (B, b) alors son conjugué par rapport à A et B est le barycentre de (A, -a) et (B, b)

Pour d'autres exemples :

Article détaillé : Division harmonique.

Rapport anharmonique, longueurs, aires et angles

Outre sa signification en termes de birapport de longueurs orientées, le rapport anharmonique concerne aussi les angles et les aires orientés. En effet Birapport aires.PNG l'aire des divers triangles tels que OAB peut s'exprimer de deux manières

\frac{1}{2}*OH*AB = \frac{1}{2}*OA*AB*sin( \widehat{AOB} )- d'où, après simplifications de OH² ou de OA*OB*OC*OD l'égalité des 3 birapports: de longueurs, d'aires et de sinus.

Rapport anharmonique sur un cercle

La propriété du birapport des sinus a une conséquence pour 6 points cocycliques ABCDMP. Les angles \widehat{AMB} et \widehat{APB} étant égaux ou supplémentaires, leurs sinus sont égaux. Le birapport des droites M(ABCD) est égal à celui des droites P(ABCD). En conséquence on peut parler du birapport de 4 points sur un cercle. On démontre, sans les sinus, en géométrie projective que cette propriété est vraie pour une conique quelconque (étant donnée une conique, si ABCDM sont fixes et si P parcourt la conique, alors le birapport des droites P(ABCD) est constant).

Birapportcercle.PNG

On peut en déduire que l'inversion de 4 points alignés, EFGH, de centre M, conserve leur birapport sur leurs images cocycliques ABCD.

Division harmonique, théorèmes de Ceva et de Ménélaüs

Le Théorème de Ceva et le Théorème de Ménélaüs sont reliés par un rapport harmonique. Cevamenelaus.PNG

Les deux théorèmes impliquent deux relations :

\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} = 1 et \frac{\overline{D'B}}{\overline{D'C}}\cdot\frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1.

qui, après simplification, mènent à : \frac{\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}}{\frac{ \overline{D'B} }{\overline{D'C}}}=-1, ce qui exprime une division harmonique.

En passant cette propriété donne une construction du conjugué de D par rapport à BC, en prenant un point arbitraire A hors de (BC) et un point arbitraire M sur (AD).

Voir quadrilatère complet

Complexes

Déf : Soient α,β,γ,δ des complexes deux à deux distincts. On définit leur birraport : [\alpha, \beta, \gamma, \delta] = \frac{\alpha - \gamma}{\alpha - \delta} : \frac{\beta - \gamma}{\beta - \delta}.
Prop : Quatre points (d'affixe) α,β,γ,δ sont cocycliques ou alignés ssi [\alpha, \beta, \gamma, \delta] \in \mathbb{R}.

Prop : Il existe une relation de Chasles multiplicative dans l'ensemble des rapports anharmoniques mettant en jeu cinq nombres a, b, c, d et e. [a, b, c, d] \times [a, b, d, e] = [a, b, c, e] . Les nombres a et b ne changent pas, le nombre d sert d'intermédiaire entre c et e. Un simple développement de l'expression permet de la vérifier.


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