Processus de Lévy

En théorie des probabilités, un processus de Lévy, nommé d'après le mathématicien français Paul Lévy, est un processus stochastique à temps continu continu à droite limité à gauche (Càdlàg), partant de 0, dont les accroissements sont stationnaires et indépendants (cette notion est expliquée ci-dessous). Les exemples les plus connus sont le processus de Wiener et le processus de Poisson.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Exemples
4 Représentation de Lévy–Khintchine
5 Décomposition de Lévy–Itō
6 Annexes
- 6.1 Bibliographie
- 6.2 Notes et références

Définition

Un processus stochastique $X=\{X_t:t \geq 0\}$ est appelé processus de Lévy, si

$X_0=0 \,$ presque sûrement
Accroissements indépendants : Pour tout $0 \leq t_1 < t_2<\cdots <t_n <\infty ,$ $X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2},\dots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ sont indépendants
Accroissements stationnaires : Pour tout $s<t \,$ , $X_t-X_s \,$ est égale en loi à $X_{t-s} \,$
$t \mapsto X_t$ est presque sûrement continue à droite et limitée à gauche (Càdlàg).

Propriétés

Accroissements indépendants

Un processus stochastique à temps continu associe une variable aléatoire X_t à tout instant t ≥ 0. C'est donc une fonction aléatoire de t. Les accroissements d'un tel processus sont les différences X_s − X_t entre ses valeurs à différents instants t < s. Dire que les accroissements d'un processus sont indépendants signifie que les accroissements X_s − X_t et X_u − X_v sont des variables aléatoires indépendantes à partir du moment où les intervalles de temps ne se chevauchent pas, et plus généralement, tout nombre fini d'accroissements sur des intervalles de temps non chevauchant sont mutuellement inépendant (et pas seulement indépendants deux à deux).

Accroissements stationnaires

Dire que les accroissements sont stationnaires signifie que la loi de chaque accroissement X_s − X_t ne dépend que de la longueur s − t de l'intervalle de temps.

Par exemple pour un processus de Wiener, la loi de X_s − X_t est une loi normale d'espérance 0 et de variance s − t.

Pour un processus de Poisson homogène, la loi de X_s − X_t est une loi de Poisson d'espérance λ(s − t), où λ > 0 est l'"intensité" ou le "taux" du processus.

Divisibilité

Le processus de Lévy est en rapport avec les lois infiniment divisibles :

Les lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.
Réciproquement, à chaque loi infiniment divisible correspond un processus de Lévy : une telle loi D étant donnée, on définit un processus stochastique pour tout temps rationnel positif en la multipliant et la divisant, on définit sa loi en 0 à partir de la distribution de Dirac en 0, enfin on passe à la limite pour tout temps réel positif. L'indépendance des accroissements et la stationnarité proviennent de la propriété de la divisibilité, bien qu'il faille vérifier la continuité, et le fait que le passage à la limite donne une fonction bien définie sur les temps irrationnels.

Moments

Le n-ième moment $\mu_n(t) = E(X_t^n)$ d'un processus de Lévy, lorsqu'il est fini, est une fonction polynomiale en t, qui vérifie une identité de type binomial :

$\mu_n(t+s)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \mu_k(t) \mu_{n-k}(s).$

Exemples

Voici une liste, non exhaustive, d'exemples de processus de Lévy.
Dans les exemples ci-dessous, X est un processus de Lévy. Il est à noter qu'un drift déterministe ( $X t = d t$ ) est un processus de Lévy ; les exemples sont considérés à un drift additif près.

Processus de Wiener

Définition
X est un processus de Wiener (ou mouvement brownien standard) si et seulement si

pour tout $\scriptstyle t\geq 0$ , la variable aléatoire $X t$ est de loi normale $\scriptstyle \mathcal N(0,t)$ ,
ses trajectoires sont presque sûrement continues ; c'est-à-dire, pour presque tout $\scriptstyle \omega$ , l'application $\scriptstyle \omega \mapsto X_t(\omega)$ est continue.

Propriétés

Sa transformée de Fourier est donnée par :

$\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( - \frac{1}{2}t\theta^2 \right)$

voir la page mouvement brownien.

Processus de Poisson composé

Définition
X est un processus de Poisson composé de paramètres un réel $\scriptstyle c\geq 0$ et une mesure $\scriptstyle \nu$ sur $\scriptstyle \mathbb R$ si et seulement si sa transformée de Fourier est donnée par

$\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( ct \left(\int_{\mathbb R} e^{i\theta x}\nu(dx) -1\right)\right)$ .

Propriétés

Un processus de Poisson composé de paramètres $\scriptstyle c\geq 0$ et pour mesure la mesure de Dirac en 1 ( $\scriptstyle \nu=\delta_1$ ) est un processus de Poisson.
Soient N un processus de Poisson de paramètre $\scriptstyle c\geq 0$ et $\scriptstyle S_n=\sum_{k=0}^n Y_k$ une marche aléatoire dont la loi des pas est $\scriptstyle \nu$ (la loi de $\scriptstyle Y_1$ ), alors le processus défini par $\scriptstyle X_t=S_{N_t}$ est un processus de Poisson composé.

Subordinateurs

Définition
X est un subordinateur si et seulement si X est un processus croissant.

Propriétés

X est à variations bornées.
X est transient.
Sa transformée de Fourier est de la forme :

$\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left(-idt\theta + t \int_0^\infty (1- e^{i\theta x})\nu(dx)\right)$ .

Un subordinateur permet de faire un changement de temps, cela s'appelle une subordination. Si Z est un processus de Lévy et X est un subordinateur indépendant, alors le processus $(Z_{X_t})_{t\geq 0}$ est un processus de Lévy.

Processus de Lévy stables

Définition
X est un processus de Lévy stable de paramètre $\scriptstyle \alpha \in ]0,2]$ (ou un processus de Lévy $\scriptstyle \alpha$ -stable ) si et seulement si les deux processus $\scriptstyle (X_{c^\alpha t})_{t\geq 0}$ et $\scriptstyle (cX_t)_{t\geq 0}$ ont la même loi pour tout réel $\scriptstyle c>0$ .

Cette propriété s'appelle la propriété de stabilité (ou scalling).

Propriétés

Si $\scriptstyle \alpha=1$ , le processus de Lévy est un drift déterministe ou un processus de Cauchy.
Si $\scriptstyle \alpha=2$ , le processus de Lévy est un mouvement brownien.
Pour $\scriptstyle \alpha\in ]0,1[\cup]1,2[$ , sa transformée de Fourier est de la forme :

$\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left(c |\theta|^\alpha\left( 1-ik \, sign(\theta)\tan(\frac{\pi\alpha}{2}) \right)\right)$ .

Représentation de Lévy–Khintchine

Toute variable aléatoire peut être caractérisée par sa fonction caractéristique. Dans le cas d'un processus de Lévy $X t$ , cette caractérisation pour tout temps t donne la représentation de Lévy-Khintchine (du nom du mathématicien russe Alexandre Khintchine) :

$\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \Bigg( ait\theta - \frac{1}{2}\sigma^2t\theta^2 + t \int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \big( e^{i\theta x}-1 -i\theta x \mathbf{I}_{|x|<1}\big)\,W(dx) \Bigg)$

où $a \in \mathbb{R}$ , $\sigma\ge 0$ et $\mathbf{I}$ est la fonction indicatrice. La mesure de Lévy $W$ doit vérifier

$\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \min \{ x^2 , 1 \} W(dx) < \infty.$

Un processus de Lévy est donc caractérisé par trois composantes : une dérive (un drift), un coefficient de diffusion, et une composante de saut. Ces trois composantes, et donc la représentation de Lévy–Khintchine du processus, sont entièrement déterminés par le triplet $(a,σ 2, W)$ . En particulier, un processus de Lévy continu est un mouvement brownien avec dérive.

Décomposition de Lévy–Itō

Réciproquement, on peut construire un processus de Lévy à partir d'une fonction caractéristique donnée sous sa représentation de Lévy-Khintchine. Cette construction correspond à la décomposition d'une mesure d'après le théorème de décomposition de Lebesgue : la dérive et la diffusion constituent la partie absolument continue, tandis que la mesure W en est la partie singulière.

Étant donné un triplet de Lévy $(a,σ 2, W)$ il existe trois processus de Lévy indépendants $X (1)$ $X (2)$ , $X (3)$ sur le même espace probabilisé, tels que :

$X (1)$ est un mouvement brownien avec dérive, correspondant à la partie absolument continue de la mesure, dont les coefficients sont a pour la dérive et $σ 2$ pour la diffusion ;
$X (2)$ est le processus de Poisson composé, correspondant à la pure partie ponctuelle de la mesure singulière W ;
$X (3)$ est un processus de saut, martingale de carré intégrable qui a presque surement un nombre fini de sauts sur tout intervalle fini, correspondant à la partie continue de la mesure singulière W.

Le processus défini par $X = X (1) + X (2) + X (3)$ est un processus de Lévy de triplet $(a,σ 2, W)$ .

Annexes

Bibliographie

D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, Second Edition, Cambridge University Press, 2009
J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-52164-632-4
A.E. Kyprianou, Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Springer, Berlin, 2006.
K.I. Sato, Lévy Processes and Infinitely divisible distributions, Cambridge Univsersity Press, 1999. ISBN 0-521-55302-4

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lévy process » (voir la liste des auteurs)

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