Partie bornée d'un espace vectoriel topologique

Partie bornée d'un espace vectoriel topologique
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En analyse fonctionnelle et dans des domaines mathématiques reliés, une partie d'un espace vectoriel topologique est dite bornée si tout voisinage du vecteur nul peut être dilaté de manière à contenir cette partie. Ce concept a été introduit par John von Neumann et Andreï Kolmogorov en 1935.

Les parties bornées sont un moyen naturel de définir les topologies polaires (en) (localement convexes) sur les deux espaces vectoriels d'une paire duale (en).

Sommaire

Définition

Une partie B d'un e.v.t. E est dite bornée si pour tout voisinage V du vecteur nul, il existe un scalaire α tel que B soit incluse dans l'ensemble, noté αV, des vecteurs de la forme αx avec x dans V.

Exemples et contre-exemples

Propriétés

pour toute suite (λn) de scalaires qui tend vers 0 et toute suite (xn) d'éléments de B, la suite (λnxn) tend vers le vecteur nul.
  • Si l'e.v.t. E est localement convexe, i.e. si sa topologie est définie par une famille \scriptstyle\quad (p_i)_{i \in I} de semi-normes, une partie B de E est bornée au sens ci-dessus si et seulement si elle est bornée pour chaque pi, c'est-à-dire si pour tout indice i, il existe un réel Mi tel que
    \forall x\in B,\quad p_i(x)\le M_i.
    En particulier si E est un espace vectoriel normé, B est bornée au sens ci-dessus si et seulement si elle est bornée pour la norme.
  • Toute partie précompacte d'un e.v.t. séparé est bornée.
  • L'adhérence d'une partie bornée est bornée.
  • Dans un espace localement convexe, l'enveloppe convexe d'une partie bornée est bornée. (Sans l'hypothèse de convexité locale, c'est faux : par exemple les espaces Lp pour 0 < p < 1 n'ont pas d'ouverts convexes non triviaux.)
  • Toutes les homothétiques, translatées, réunions finies et sommes finies de parties bornées sont bornées.
  • Si un opérateur linéaire est continu alors il est borné, c'est-à-dire qu'il envoie toute partie bornée sur une partie bornée. La réciproque est vraie si l'espace de départ est pseudo-métrisable.
  • Un espace localement convexe est semi-normable si et seulement s'il est localement borné, i.e. s'il possède un voisinage borné de 0.
  • L'ensemble polaire (de) d'une partie bornée est absolument convexe (en) et absorbant.

Généralisation

Si M est un module topologique (en) sur un anneau topologique R, une partie B de M est dite bornée si pour tout voisinage V du vecteur nul de M, il existe un voisinage w du scalaire nul de R tel que wB soit inclus dans V.

Références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Partie bornée d'un espace vectoriel topologique de Wikipédia en français (auteurs)

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