Précompact

Précompact

Espace précompact

Un espace métrique E est précompact si pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons \epsilon \, .

  • Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact ; alors E est précompact.
    Démonstration :
    Soit \epsilon > <span class=0\, " style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/51/3c2a85da9b2f2df7cc2e6b1ac862922e.png" border="0">, alors, E \subset \bigcup_{x\in E} B(x,\epsilon)
    Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement de E par des ouverts un sous recouvrement fini, d' le résultat.
  • Proposition 2 : Soit E un espace métrique complet et précompact, alors E est compact.
    Démonstration :
    On va montrer que E vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass qui est équivalente à Borel-Lebesgue dans les espaces métriques.
    Soit x une suite de E. Recouvrons E par un nombre fini n(0) de boules ouvertes de rayon 20 = 1 : E \subset \bigcup_{i=1}^{n(0)} B(a_{i},1) .
    Une de ces boules contient une infinité I(0) de termes de la suite, appelons-la B0.
    Mais on peut aussi recouvrir E par un nombre n(1) de boules ouvertes de rayon 2 1.
    Dans ce cas, il existe une boule B1, de rayon2 1, contenant une partie infinie I(1) de I(0)
    (si ce n'était le cas, toute boule B(ai,2 1) ne contiendrait qu'un nombre fini d'éléments de I(0), et donc E également, ce qui est absurde)
    on peut itérer le procédé pour obtenir  I(2),\dots ,I(k) \dots une suite décroissante de parties infinies et de diamètres tendant vers 0 (car majorés par 2 k + 1)
    Ainsi, obtient une sous-suite de x, et qui est de Cauchy.
    Par complétude, celle-ci converge dans E.
    \square
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