Précompact

Précompact

Espace précompact

Un espace métrique E est précompact si pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons \epsilon \, .

  • Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact ; alors E est précompact.
    Démonstration :
    Soit \epsilon > 0\, , alors, E \subset \bigcup_{x\in E} B(x,\epsilon)
    Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement de E par des ouverts un sous recouvrement fini, d'où le résultat.
  • Proposition 2 : Soit E un espace métrique complet et précompact, alors E est compact.
    Démonstration :
    On va montrer que E vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass qui est équivalente à Borel-Lebesgue dans les espaces métriques.
    Soit x une suite de E. Recouvrons E par un nombre fini n(0) de boules ouvertes de rayon 20 = 1 : E \subset \bigcup_{i=1}^{n(0)} B(a_{i},1) .
    Une de ces boules contient une infinité I(0) de termes de la suite, appelons-la B0.
    Mais on peut aussi recouvrir E par un nombre n(1) de boules ouvertes de rayon 2 − 1.
    Dans ce cas, il existe une boule B1, de rayon2 − 1, contenant une partie infinie I(1) de I(0)
    (si ce n'était le cas, toute boule B(ai,2 − 1) ne contiendrait qu'un nombre fini d'éléments de I(0), et donc E également, ce qui est absurde)
    on peut itérer le procédé pour obtenir I(2),\dots ,I(k) \dots une suite décroissante de parties infinies et de diamètres tendant vers 0 (car majorés par 2 − k + 1)
    Ainsi, obtient une sous-suite de x, et qui est de Cauchy.
    Par complétude, celle-ci converge dans E.
    \square
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Espace pr%C3%A9compact ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Précompact de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Precompact set — In topology and related branches of mathematics, a precompact set, or pre compact set, may be either: * A relatively compact set; or * A totally bounded set.(These are equivalent in a complete metric space.) …   Wikipedia

  • Espace précompact — En topologie, une branche des mathématiques, un espace métrique E est précompact si pour tout ε>0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayon ε, ou de façon équivalente si pour tout ε>0, on peut recouvrir E par un… …   Wikipédia en Français

  • Espace Précompact — Un espace métrique E est précompact si pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons . Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact ; alors E est précompact. Démonstration : Soit ,… …   Wikipédia en Français

  • Espace precompact — Espace précompact Un espace métrique E est précompact si pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons . Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact ; alors E est précompact.… …   Wikipédia en Français

  • Totally bounded space — In topology and related branches of mathematics, a totally bounded space is a space that can be covered by finitely many subsets of any fixed size (where the meaning of size depends on the given context). The smaller the size fixed, the more… …   Wikipedia

  • Compacite sequentielle — Compacité séquentielle Pour les articles homonymes, voir Compacité. La compacité est une propriété topologique importante qui se définit en topologie générale, à partir de la notion de recouvrement ouvert. Toutefois dans le cadre des espaces… …   Wikipédia en Français

  • Compacité Séquentielle — Pour les articles homonymes, voir Compacité. La compacité est une propriété topologique importante qui se définit en topologie générale, à partir de la notion de recouvrement ouvert. Toutefois dans le cadre des espaces métriques (comprenant… …   Wikipédia en Français

  • Compacité séquentielle — Pour les articles homonymes, voir Compacité. La compacité est une propriété topologique importante qui se définit en topologie générale, à partir de la notion de recouvrement ouvert. Toutefois dans le cadre des espaces métriques (comprenant… …   Wikipédia en Français

  • Espace Séparable — En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous ensemble dénombrable et dense, c est à dire si l on peut trouver un ensemble dénombrable de points dont l adhérence est égale à l… …   Wikipédia en Français

  • Espace separable — Espace séparable En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous ensemble dénombrable et dense, c est à dire si l on peut trouver un ensemble dénombrable de points dont l… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”