Précompact

Précompact

Espace précompact

Un espace métrique E est précompact si pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons \epsilon \, .

  • Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact ; alors E est précompact.
    Démonstration :
    Soit \epsilon > 0\, , alors, E \subset \bigcup_{x\in E} B(x,\epsilon)
    Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement de E par des ouverts un sous recouvrement fini, d'où le résultat.
  • Proposition 2 : Soit E un espace métrique complet et précompact, alors E est compact.
    Démonstration :
    On va montrer que E vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass qui est équivalente à Borel-Lebesgue dans les espaces métriques.
    Soit x une suite de E. Recouvrons E par un nombre fini n(0) de boules ouvertes de rayon 20 = 1 : E \subset \bigcup_{i=1}^{n(0)} B(a_{i},1) .
    Une de ces boules contient une infinité I(0) de termes de la suite, appelons-la B0.
    Mais on peut aussi recouvrir E par un nombre n(1) de boules ouvertes de rayon 2 − 1.
    Dans ce cas, il existe une boule B1, de rayon2 − 1, contenant une partie infinie I(1) de I(0)
    (si ce n'était le cas, toute boule B(ai,2 − 1) ne contiendrait qu'un nombre fini d'éléments de I(0), et donc E également, ce qui est absurde)
    on peut itérer le procédé pour obtenir I(2),\dots ,I(k) \dots une suite décroissante de parties infinies et de diamètres tendant vers 0 (car majorés par 2 − k + 1)
    Ainsi, obtient une sous-suite de x, et qui est de Cauchy.
    Par complétude, celle-ci converge dans E.
    \square
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