- Graphe de Horton
-
Graphe de Horton 
Représentation du graphe de Horton.Nombre de sommets 96 Nombre d'arêtes 144 Distribution des degrés 3-régulier Rayon 10 Diamètre 10 Maille 6 Automorphismes 96 Nombre chromatique 2 Indice chromatique 3 Propriétés Cubique
Bipartimodifier 
Le graphe de Horton (ou 96-graphe de Horton) est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 96 sommets et 144 arêtes. Il est construit comme contre-exemple à une conjecture de Tutte.
Sommaire
Histoire
En 1971, le mathématicien et cryptanalyste William Tutte conjecture qu'il n'existe pas de graphe 3-sommet-connexe qui soit cubique, bipartite et non-hamiltonien[1]. Mais J. D. Horton trouve un contre-exemple à 96 sommets, le graphe de Horton, publié par Bondy & Murty en 1976[2].
Après cela, d'autres contre-exemples sont découverts. En 1982, c'est un graphe à 92 sommets, encore construit par Horton (le 92-graphe de Horton)[3], puis, en 1983, Owens trouve un contre-exemple d'ordre 78[4].
Avec Ellingham, Horton publie deux contre-exemples à la conjecture de Tutte : un graphe d'ordre 78 en 1981 (le 78-graphe de Ellingham-Horton)[5] et un graphe d'ordre 54 en 1983 (le 54-graphe de Ellingham-Horton)[6]. A l'heure actuelle, ce graphe à 54 sommets est le plus petit graphe non-hamiltonien bipartite cubique 3-sommet-connexe connu.
Propriétés
Propriétés générales
Le diamètre du graphe de Horton, l'excentricité maximale de ses sommets, est 10, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 10 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Coloriage
Le nombre chromatique du graphe de Horton est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 1-coloration valide du graphe.
L'indice chromatique du graphe de Horton est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Propriétés algébriques
Le groupe d'automorphismes du graphe de Horton est un groupe d'ordre 96. Il est isomorphe à Z/2Z×Z/2Z×S4, le produit direct du groupe cyclique Z/2Z avec lui-même et le groupe symétrique S4.
Le polynôme caractéristique du graphe de Horton est : (x − 3)(x − 1)14x4(x + 1)14(x + 3)(x2 − 5)3(x2 − 3)11(x2 − x − 3)(x2 + x − 3)(x10 − 23x8 + 188x6 − 644x4 + 803x2 − 101)2(x10 − 20x8 + 143x6 − 437x4 + 500x2 − 59).
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, Horton Graph (MathWorld)
Références
- (en) William Tutte, « On the 2-Factors of Bicubic Graphs », dans Discrete Mathematics, Elsevier, vol. 1, no 2, 22 mars 1971, p. 203-208 [lien DOI].
- (en) J. A. Bondy et U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, New York, North Holland, 1976, 1976e éd. (ISBN 978-0-444-19451-0) [lire en ligne], p. 240
- (en) J. D. Horton, « On two-factors of bipartite regular graphs », dans Discrete Mathematics, vol. 41, no 1, 1982, p. 35–41 [lien DOI].
- (en) P. J. Owens, « Bipartite cubic graphs and a shortness exponent », dans Discrete Mathematics, vol. 44, no 3, 1983, p. 327–330 [lien DOI].
- (en) M. N. Ellingham, Non-Hamiltonian 3-connected cubic partite graphs, Dept. of Math., Univ. Melbourne, 1981.
- (en) M. N. Ellingham, « Non-Hamiltonian 3-connected cubic bipartite graphs », dans Journal of Combinatorial Theory, Series B, vol. 34, no 3, 1983, p. 350–353 [lien DOI].
Catégorie :- Graphe remarquable
Wikimedia Foundation. 2010.
